Hiperboloide
Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais geralmente, de uma transformação afim.
As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal θ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} , mas mudando a inclinação v {\displaystyle v} para funções trigonométricas hiperbólicas: Hiperboloide de uma superfície: v ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle v\in (-\infty ,\infty )} Hiperboloide de duas superfícies: v ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle v\in [0,\infty )}
Retas na superfície
Se o hiperboloide tem a equação x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1} então as retas No caso de a = b {\displaystyle a=b} o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela rotação de uma das duas retas g 0 + {\displaystyle g_{0}^{+}} ou g 0 − {\displaystyle g_{0}^{-}} , que são inclinados para o eixo de rotação (ver imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem). Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide hiperbólico.
Seções planas
Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação H 1 : x 2 + y 2 − z 2 = 1 {\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1} são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral. Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.
O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que corta a hipérbole) Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral. Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.
A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu cone de limite comum, cada um com o eixo z {\displaystyle z} como o eixo de simetria: x → ( s , t ) = ( a s 2 + d cos t b s 2 + d sen t c s ) {\displaystyle {\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\operatorname {sen} t\\cs\end{array}}\right)} Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo c s {\displaystyle cs} para o componente apropriado na equação acima.
Os hiperboloides com equações x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 , x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ } são
A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para geometria hiperbólica.
Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em v {\displaystyle \mathbf {v} } , é definido pela equação onde A {\displaystyle A} é uma matriz e x {\displaystyle \mathbf {x} } , v {\displaystyle \mathbf {v} } são vetores. Os autovetores de A {\displaystyle A} definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de A {\displaystyle A} são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos: 1 / a 2 {\displaystyle {1/a^{2}}} , 1 / b 2 {\displaystyle {1/b^{2}}} e 1 / c 2 {\displaystyle {1/c^{2}}} . O hiperboloide de uma folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.
Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma quadrática: Quando c {\displaystyle c} é qualquer constante, então a parte do espaço dada por é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a c = 0 {\displaystyle c=0} . Como exemplo, considere a seguinte passagem: No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o hiperboloide têm alguma semelhança.
Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas elétricas, e muitas outras estruturas.
Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da equação de uma esfera: Nesta passagem S é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e T é o "tensor", agora chamado de norma, de um quaternion. Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos p = (w, x, y, z) ∈ R4 determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-superfície cônica Então P ∩ H r {\displaystyle P\cap H_{r}} é a esfera com raio r. Por outro lado, a hiper-superfície cônica Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço quadrático X consistindo em x ∈ X tal que a norma quadrática de x é um.
