Geometria hiperbólica
Em Matemática, geometria hiperbólica, também chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai-Lobachevsky, é uma geometria não-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o clássico postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído pelo postulado de Lobachesvky:"Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta."
Imagem: José Luis Llopis Fabra · BY-SA · Openverse
Desde a publicação de Os Elementos de Euclides, diversos matemáticos buscaram provar o quinto postulado: o postulado das paralelas. Alguns tentaram provar por redução ao absurdo, como Proclo, Alhazém, Omar Caiame, Naceradim de Tus, Vitello, Gersónides, Giovanni Girolamo Saccheri, John Wallis, Johann Heinrich Lambert e Adrien-Marie Legendre.
Antes do século XIX
Os teoremas de Alzahém, Caiame e Tus sobre quadriláteros são considerados os primeiros teoremas sobre geometria hiperbólica. Seus trabalhos apresentaram uma influência considerável nos geômetras europeus posteriores. No século XVIII, Lambert introduziu funções hiperbólicas e calculou a área de triângulos hiperbólicos.
Desenvolvimento no século XIX
Geômetras como Nikolai Lobachevsky, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss e Franz Taurinus, ao contrário de seus antecessores que apenas queriam eliminar o quinto postulado do quadro axiomático da geometria euclidiana, compreenderam que estavam trabalhando com uma nova geometria. Esses matemáticos começaram a desenvolver uma geometria em que o postulado das paralelas é substituído por sua negação: assume-se a existência de pelo menos duas retas paralelas a uma outra reta r {\displaystyle r} passando por um ponto P {\displaystyle P} . A partir de 1868, com os trabalhos de Eugenio Beltrami, Klein e Poincaré, confirmou-se que o quinto postulado de Euclides é independente dos demais postulados e, dessa forma, não existe uma prova para tal.
