Função trigonométrica

Convencionalmente, uma abreviação do nome de cada função trigonométrica é usada como seu símbolo em fórmulas. Hoje, as versões mais comuns dessas abreviações são "sen" para seno, "cos" para cosseno, "tan" ou "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" ou "cosec" para cossecante e "cot" ou "ctg" para cotangente. Historicamente, essas abreviações foram usadas pela primeira vez em frases em prosa para indicar segmentos de linha específicos ou seus comprimentos relacionados a um arco de um círculo arbitrário e, mais tarde, para indicar proporções de comprimentos, mas à medida que o conceito de função se desenvolveu nos séculos XVII e XVIII, elas começaram a ser consideradas como funções de medidas de ângulos com valores numéricos reais e escritas com notação funcional, por exemplo, sen(x). Parênteses ainda são frequentemente omitidos para reduzir a desordem, mas às vezes são necessários; por exemplo, a expressão sen ⁡ x + y {\displaystyle \operatorname {sen} x+y} normalmente seria interpretada como ( sen ⁡ x ) + y , {\displaystyle (\operatorname {sen} x)+y,} então parênteses são necessários para expressar sen ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \operatorname {sen}(x+y)} .

Se o ângulo agudo θ for dado, então quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo de θ são semelhantes entre si. Isso significa que a razão de quaisquer dois comprimentos laterais depende apenas de θ. Assim, essas seis razões definem seis funções de θ, que são as funções trigonométricas. Nas definições a seguir, a hipotenusa é o comprimento do lado oposto ao ângulo reto, oposto representa o lado oposto ao ângulo θ dado, e adjacente representa o lado entre o ângulo θ e o ângulo reto. Vários mnemônicos podem ser usados para lembrar essas definições. Em um triângulo retângulo, a soma dos dois ângulos agudos é um ângulo reto, ou seja, 90° ou ⁠⁠π/2⁠ radianos. Portanto, sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )} e cos ⁡ ( 90 ∘ − θ ) {\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )} representam a mesma razão e, portanto, são iguais. Essa identidade e relações análogas entre as outras funções trigonométricas são resumidas na tabela a seguir.

Nas aplicações geométricas, o argumento de uma função trigonométrica é geralmente a medida de um ângulo. Para esse propósito, qualquer unidade angular é conveniente. Uma unidade comum é graus, em que um ângulo reto é 90° e uma volta completa é 360° (particularmente na matemática elementar). No entanto, no cálculo e na análise matemática, as funções trigonométricas são geralmente consideradas mais abstratamente como funções de números reais ou complexos, em vez de ângulos. De fato, as funções sen e cos podem ser definidas para todos os números complexos em termos da função exponencial, via séries de potências, ou como soluções para equações diferenciais dados valores iniciais particulares (veja abaixo), sem referência a quaisquer noções geométricas. As outras quatro funções trigonométricas (tan, cot, sec, csc) podem ser definidas como quocientes e recíprocas de sen e cos, exceto onde zero ocorre no denominador. Pode ser provado, para argumentos reais, que essas definições coincidem com definições geométricas elementares se o argumento for considerado um ângulo em radianos. Além disso, essas definições resultam em expressões simples para as derivadas e integrais indefinidas para as funções trigonométricas. Assim, nos cenários além da geometria elementar, radianos são considerados a unidade matematicamente natural para descrever medidas de ângulos.

As seis funções trigonométricas podem ser definidas como valores de coordenadas de pontos no plano euclidiano que estão relacionados ao círculo unitário, que é o círculo de raio um centrado na origem O deste sistema de coordenadas. Enquanto as definições de triângulo retângulo permitem a definição das funções trigonométricas para ângulos entre 0 e π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}} radianos (90°), as definições do círculo unitário permitem que o domínio das funções trigonométricas seja estendido a todos os números reais positivos e negativos. Seja L {\displaystyle {\mathcal {L}}} o raio obtido pela rotação de um ângulo θ da metade positiva do eixo x (rotação anti-horária para θ > 0 {\displaystyle \theta >0} , e rotação horária para θ < 0 {\displaystyle \theta <0} ). Este raio intercepta o círculo unitário no ponto A = ( x A , y A ) {\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })} . O raio L {\displaystyle {\mathcal {L}}} , estendido para uma reta se necessário, intercepta a reta da equação x = 1 {\displaystyle x=1} no ponto B = ( 1 , y B ) {\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} })} , e a reta da equação y = 1 {\displaystyle y=1} no ponto C = ( x C , 1 ) {\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1)} . A reta tangente ao círculo unitário no ponto A, é perpendicular a L {\displaystyle {\mathcal {L}}} , e intercepta os eixos y e x nos pontos D = ( 0 , y D ) {\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })} e E = ( x E , 0 ) {\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)} . As coordenadas desses pontos fornecem os valores de todas as funções trigonométricas para qualquer valor real arbitrário de θ da seguinte maneira.

As expressões algébricas para os ângulos mais importantes são as seguintes: Escrever os numeradores como raízes quadradas de inteiros não negativos consecutivos, com um denominador de 2, fornece uma maneira fácil de lembrar os valores. Essas expressões simples geralmente não existem para outros ângulos que são múltiplos racionais de um ângulo reto.

G. H. Hardy observou em seu trabalho de 1908, Um Curso de Matemática Pura, que a definição das funções trigonométricas em termos do círculo unitário não é satisfatória, porque depende implicitamente de uma noção de ângulo que pode ser medida por um número real. Assim, na análise moderna, as funções trigonométricas são geralmente construídas sem referência à geometria. Existem várias maneiras na literatura para definir as funções trigonométricas de uma maneira adequada para análise; elas incluem: Outra maneira de definir as funções trigonométricas na análise é usando integração. Para um número real t {\displaystyle t} , coloque θ ( t ) = ∫ 0 t d τ 1 + τ 2 = arctan ⁡ t {\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t} onde isso define esta função tangente inversa. Além disso, π {\displaystyle \pi } é definido por 1 2 π = ∫ 0 ∞ d τ 1 + τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}} uma definição que remonta a Karl Weierstrass.

As funções de seno e de cosseno são periódicas, com período 2 π {\displaystyle 2\pi } , que é o menor período positivo: sen ⁡ ( z + 2 π ) = sen ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + 2 π ) = cos ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sen}(z+2\pi )=\operatorname {sen}(z),\quad \cos(z+2\pi )=\cos(z)} Consequentemente, a secante e a cossecante também têm 2 π {\displaystyle 2\pi } como seu período. As funções de seno e de cosseno também têm semiperíodos π {\displaystyle \pi } , e: sen ⁡ ( z + π ) = − sen ⁡ ( z ) , cos ⁡ ( z + π ) = − cos ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sen}(z+\pi )=-\operatorname {sen}(z),\quad \cos(z+\pi )=-\cos(z)} e consequentemente tan ⁡ ( z + π ) = tan ⁡ ( z ) , cot ⁡ ( z + π ) = cot ⁡ ( z ) {\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)} Além disso, sen ⁡ ( x + π / 2 ) = cos ⁡ ( x ) , cos ⁡ ( x + π / 2 ) = − sen ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sen}(x+\pi /2)=\cos(x),\quad \cos(x+\pi /2)=-\operatorname {sen}(x)} A função sen ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {sen}(z)} tem um zero único (em z = 0 {\displaystyle z=0} ) na faixa − π < ℜ ( z ) < π {\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi } . A função cos ⁡ ( z ) {\displaystyle \cos(z)} tem o par de zeros z = ± π / 2 {\displaystyle z=\pm \pi /2} na mesma faixa. Devido à periodicidade, os zeros de seno são: π Z = { … , − 2 π , − π , 0 , π , 2 π , … } ⊂ C {\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} } Os zeros de cosseno são: π 2 + π Z = { … , − 3 π 2 , − π 2 , π 2 , 3 π 2 , … } ⊂ C {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} } Todos os zeros são zeros simples, e ambas as funções têm derivada ± 1 {\displaystyle \pm 1} em cada um dos zeros.

Muitas identidades inter-relacionam as funções trigonométricas. Esta seção contém as mais básicas; para mais identidades, veja Lista de identidades trigonométricas. Essas identidades podem ser provadas geometricamente a partir das definições de círculo unitário ou de triângulo retângulo (embora, para as últimas definições, deva-se tomar cuidado com ângulos que não estejam no intervalo [0, π/2], veja Provas de identidades trigonométricas). Para provas não geométricas usando apenas ferramentas de cálculo, pode-se usar diretamente as equações diferenciais, de uma forma semelhante à da prova acima da identidade de Euler. Também se pode usar a identidade de Euler para expressar todas as funções trigonométricas em termos de exponenciais complexos e usar propriedades da função exponencial.

O cosseno e a secante são funções pares; as outras funções trigonométricas são funções ímpares. Isto é:

Todas as funções trigonométricas são funções periódicas de período 2π. Este é o menor período, exceto para a tangente e a cotangente, que têm π como menor período. Isto significa que, para cada inteiro k, tem-se: