Exponenciação
Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como an, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é, da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja, O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler an como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a2 costuma ser lido como a ao quadrado, a3 como a ao cubo e a4 como a à quarta potência ou elevado a quatro. Assim sucessivamente.
Antiguidade
Em The Sand Reckoner , Arquimedes provou a lei dos expoentes, 10 a · 10 b = 10 a + b , necessária para manipular potências de 10, e utilizou essa manipulação para estimar o número de grãos de areia que podem ser contidos no universo.
Era de Ouro Islâmica
No século IX, o matemático persa Al-Khwarizmi usou os termos مَال ("posses", "propriedade") para um quadrado — "os muçulmanos, como a maioria dos matemáticos daquela época e de épocas anteriores, pensavam em um número quadrado como uma representação de uma área, especialmente de terra, portanto propriedade" — e كَعْبَة ( Kaʿbah , "cubo") para um cubo , que os matemáticos islâmicos posteriores representaram em notação matemática como as letras mīm (m) e kāf (k), respectivamente, no século XV, como visto na obra de Abu'l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi .
Séculos XV–XVIII
Nicolas Chuquet usou uma forma de notação exponencial no século XV, por exemplo 12 2 para representar 12 x 2 . Isso foi usado mais tarde por Henricus Grammateus e Michael Stifel no século XVI. No final do século XVI, Jost Bürgi usaria algarismos romanos para expoentes de uma forma semelhante à de Chuquet, por exemplo 4 i i i {\displaystyle 4^{iii}} para 4 x 3 . A palavra expoente foi cunhada em 1544 por Michael Stifel. No século XVI, Robert Recorde usou os termos quadrado, cubo, zenzizenzic ( quarta potência ), sursolid (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursolid (sétimo) e zenzizenzizenzic (oitavo). Biquadrado também foi usado para se referir à quarta potência.
século XX
À medida que o cálculo foi mecanizado, a notação foi adaptada à capacidade numérica por convenções em notação exponencial. Por exemplo, Konrad Zuse introduziu a aritmética de ponto flutuante em seu computador Z1 de 1938. Um registro continha representação de dígitos iniciais e um segundo continha representação do expoente de 10. Anteriormente, Leonardo Torres Quevedo contribuiu com Essays on Automation (1914), que sugeriu a representação de números em ponto flutuante. A representação decimal de ponto flutuante mais flexível foi introduzida em 1946 com um computador dos Laboratórios Bell . Eventualmente, educadores e engenheiros adotaram a notação científica de números, consistente com a referência comum à ordem de magnitude em uma escala de razão .
As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica. Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos: a ( n m ) = ( a n ) m {\displaystyle a^{(n\ m)}=(a^{n})^{m}} a > 1 ∧ n > m → a n > a m {\displaystyle a>1\land n>m\rightarrow a^{n}>a^{m}} Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2 n {\displaystyle 2^{n}} valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = 2 10 {\displaystyle 2^{10}} = 1 024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1 024 é kibi-, então 1 024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-. x n ⋅ x m = x ( n + m ) {\displaystyle x^{n}\cdot x^{m}=x^{(n+m)}}
Expoente zero
a n a m = a ( n + m ) , {\displaystyle a^{n}\ a^{m}\ =a^{(n+m)},} continue valendo para n = 0, devemos ter:
Expoentes inteiros negativos
a n a m = a ( n + m ) {\displaystyle a^{n}\ a^{m}=a^{(n+m)}} seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso. a − 1 = ( 1 a ) {\displaystyle a^{-1}=\left({\frac {1}{a}}\right)} Então esse cálculo fica assim : a − n = a − 1. n = ( a − 1 ) n = ( 1 a ) n = 1 n a n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^{n}={\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}={\frac {1^{n}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}} Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido. Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo: 3 − 5 = 1 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 = ( 1 3 ) 5 = 1 3 5 {\displaystyle 3^{-5}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}={\frac {1}{3^{5}}}}
Expoentes um e zero
n 0 = n 1 ⋅ n − 1 = n ⋅ 1 n = 1 {\displaystyle n^{0}=n^{1}\cdot n^{-1}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1}
Indeterminações
Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:
Potências cujo expoente não altera o resultado
As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0 n {\displaystyle 0^{n}} n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} mas as potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. As outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é negativo, têm como resultado ∞ {\displaystyle {\infty }} (infinito). As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1 n , {\displaystyle 1^{n},} sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", 1 n {\displaystyle 1^{n}} será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.
Potências de 10
Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, 10 6 {\displaystyle 10^{6}} é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299 792 458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 × 10 8 {\displaystyle 10^{8}} e então aproximada para 2,998 × 10 8 . {\displaystyle 10^{8}.} Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 10 3 {\displaystyle 10^{3}} = 1 000, logo, um quilómetro é igual a 1 000 metros.
A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens: Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando x <= 0 {\displaystyle x<=0} e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única. Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.
