Espaço tridimensional
Na geometria, um espaço tridimensional é um espaço matemático no qual três valores são necessários para determinar a posição de um ponto. Alternativamente, pode ser referido como espaço 3D, 3-espaço ou espaço de três dimensões. Mais comumente, significa o espaço euclidiano tridimensional, isto é, o espaço euclidiano de dimensão três, que modela o espaço físico. Espaços tridimensionais mais gerais são chamados de 3-variedades. O termo pode referir-se coloquialmente a um subconjunto do espaço, uma região tridimensional, ou uma figura sólida.
O filósofo Aristóteles reconheceu a existência de três dimensões:.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:#F1F1F1;border-left:3px solid #C7C7C7;font-size:100%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid #C7C7C7;border-top:1px solid #C7C7C7;margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}} Uma magnitude, se divisível de uma forma, é uma linha; se de duas formas, uma superfície; e se de três, um corpo. Além destas não há outra magnitude, porque as três dimensões são tudo o que existe, e aquilo que é divisível em três direções é divisível em todas.
Sistemas de coordenadas
Na matemática, a geometria analítica (também chamada de geometria cartesiana) descreve cada ponto no espaço tridimensional por meio de três coordenadas. São dados três eixos de coordenadas, cada um perpendicular aos outros dois na origem, o ponto em que se cruzam. Eles são geralmente rotulados como x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} e z {\displaystyle z} . Em relação a esses eixos, a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional é dada por uma tripla ordenada de números reais, cada número dando a distância daquele ponto até a origem medida ao longo do eixo dado, que é igual à distância daquele ponto até o plano determinado pelos outros dois eixos.
Retas e planos
Dois pontos distintos sempre determinam uma reta. Três pontos distintos ou são colineares ou determinam um único plano. Por outro lado, quatro pontos distintos podem ser colineares, coplanares ou determinar todo o espaço. Duas retas distintas podem se interceptar, ser paralelas ou ser reversas. Duas retas paralelas, ou duas retas concorrentes, situam-se em um único plano, portanto, retas reversas são retas que não se encontram e não estão em um plano comum. Dois planos distintos podem se encontrar em uma reta comum ou ser paralelos (ou seja, não se encontram). Três planos distintos, nenhum par dos quais seja paralelo, podem se encontrar em uma reta comum, encontrar-se em um único ponto comum ou não ter nenhum ponto em comum. No último caso, as três retas de interseção de cada par de planos são mutuamente paralelas.
Esferas e bolas
Uma esfera no espaço 3D (também chamada de 2-esfera porque é um objeto bidimensional) consiste no conjunto de todos os pontos no espaço 3D a uma distância fixa r {\displaystyle r} de um ponto central P {\displaystyle P} . O sólido delimitado pela esfera é chamado de bola (ou, mais precisamente, uma 3-bola). O volume da bola é dado por V = 4 3 π r 3 , {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},} e a área da superfície da esfera é A = 4 π r 2 , {\displaystyle A=4\pi r^{2},} Outro tipo de esfera surge de uma 4-bola, cuja superfície tridimensional é a 3-esfera: pontos equidistantes à origem do espaço euclidiano R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Se um ponto tem coordenadas P ( x , y , z , w ) {\displaystyle P(x,y,z,w)} , então x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1} caracteriza esses pontos na 3-esfera unitária centrada na origem.
Politopos
Em três dimensões, existem nove politopos regulares: os cinco sólidos platônicos convexos e os quatro poliedros de Kepler-Poinsot não convexos.
Superfícies de revolução
Uma superfície gerada pela revolução de uma curva plana em torno de uma reta fixa em seu plano como eixo é chamada de superfície de revolução. A curva plana é chamada de geratriz da superfície. Uma seção da superfície, feita pela interseção da superfície com um plano que é perpendicular (ortogonal) ao eixo, é um círculo. Exemplos simples ocorrem quando a geratriz é uma reta. Se a reta geratriz intercepta a reta do eixo, a superfície de revolução é um cone circular reto com o vértice (ápice) no ponto de interseção. No entanto, se a geratriz e o eixo forem paralelos, então a superfície de revolução é um cilindro circular.
Superfícies quádricas
Em analogia com as seções cônicas, o conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem a equação geral do segundo grau, a saber, A x 2 + B y 2 + C z 2 + F x y + G y z + H x z + J x + K y + L z + M = 0 , {\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,} onde A , B , C , F , G , H , J , K , L {\displaystyle A,B,C,F,G,H,J,K,L} e M {\displaystyle M} são números reais e nem todos os A , B , C , F , G {\displaystyle A,B,C,F,G} e H {\displaystyle H} são zero, é chamado de superfície quádrica (ou simplesmente quádrica). Existem seis tipos de superfícies quádricas não degeneradas: As superfícies quádricas degeneradas são o conjunto vazio, um único ponto, uma única reta, um único plano, um par de planos ou um cilindro quadrático (uma superfície que consiste em uma seção cônica não degenerada em um plano π {\displaystyle \pi } e todas as retas de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} através dessa cônica que são normais a π {\displaystyle \pi } ). Os cones elípticos às vezes também são considerados superfícies quádricas degeneradas.[carece de fontes?]
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Na álgebra linear, a perspectiva do espaço tridimensional é crucialmente dependente do conceito de independência. O espaço tem três dimensões porque o comprimento de uma caixa (ou paralelepípedo retângulo) é independente da sua largura ou altura. Na linguagem técnica da álgebra linear, o espaço é tridimensional porque cada ponto no espaço pode ser descrito por uma combinação linear de três vetores independentes.
Produto escalar, ângulo e comprimento
Um vetor pode ser imaginado como uma seta. A magnitude do vetor é o seu comprimento, e a sua direção é a direção para a qual a seta aponta. Um vetor em R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} pode ser representado por um terno ordenado (ou tripla ordenada) de números reais. Esses números são chamados de componentes do vetor. O produto escalar de dois vetores A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] {\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]} e B = [ B 1 , B 2 , B 3 ] {\displaystyle \mathbf {B} =[B_{1},B_{2},B_{3}]} é definido como: A magnitude de um vetor A {\displaystyle \mathbf {A} } é denotada por ‖ A ‖ {\displaystyle \|\mathbf {A} \|} . O produto escalar de um vetor A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] {\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]} por si mesmo é
Produto vetorial
O produto vetorial é uma operação binária sobre dois vetores no espaço euclidiano tridimensional e é denotado pelo símbolo × {\displaystyle \times } . O produto vetorial A × B {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} } dos vetores A {\displaystyle \mathbf {A} } e B {\displaystyle \mathbf {B} } é um vetor que é perpendicular a ambos e, portanto, normal ao plano que os contém. Ele tem muitas aplicações na matemática, na física e na engenharia. Por exemplo, pode ser usado para calcular a quantidade de torque num parafuso sendo girado por uma chave de boca, ou a força de Lorentz sobre um elétron que viaja através de um campo magnético. Na linguagem de funções, o produto vetorial é uma função × : R 3 × R 3 → R 3 {\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} .
Descrição abstrata
Pode ser útil descrever o espaço tridimensional como um espaço vetorial tridimensional V {\displaystyle V} sobre os números reais. Isso difere de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} de uma maneira sutil. Por definição, existe uma base B = { e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}} para V {\displaystyle V} . Isso corresponde a um isomorfismo entre V {\displaystyle V} e R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} : a construção para o isomorfismo é encontrada aqui. No entanto, não há 'base preferencial' ou 'base canônica' para V {\displaystyle V} . Por outro lado, há uma base preferencial para R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , que se deve à sua descrição como um produto cartesiano de cópias de R {\displaystyle \mathbb {R} } , isto é, R 3 = R × R × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} } , o espaço euclidiano tridimensional. Isso permite a definição de projeções canônicas, π i : R 3 → R {\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} } , onde 1 ≤ i ≤ 3 {\displaystyle 1\leq i\leq 3} . Por exemplo, π 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 {\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}} . Isso então permite a definição da base padrão (ou base canônica) B Padrão = { E 1 , E 2 , E 3 } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Padrão}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}} definida por π i ( E j ) = δ i j {\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}} onde δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} é o delta de Kronecker. Escrita por extenso, a base padrão é
O cálculo vetorial preocupa-se com as mudanças infinitesimais e cumulativas em campos vetoriais, principalmente no espaço euclidiano tridimensional, R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Para a diferenciação, utiliza-se o operador del ( ∇ {\displaystyle \nabla } ), ou nabla.
Gradiente, divergente e rotacional
O gradiente indica a direção de maior aumento de uma função e a sua magnitude. Um exemplo é um fluxo de partículas, em que o gradiente é a magnitude e a direção do fluxo num determinado local. Num sistema de coordenadas retangulares, o gradiente de uma função diferenciável f : R 3 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} } é dado por onde i, j e k são os vetores unitários para os eixos x, y e z, respectivamente. Na notação de índices, escreve-se ( ∇ f ) i = ∂ i f . {\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.} O divergente indica o fluxo líquido de um campo vetorial em torno de um ponto, tal como um aumento ou diminuição da densidade de partículas. Ou seja, se o local é uma fonte ou um sumidouro. O divergente de um campo vetorial (diferenciável) F = U i + V j + W k, isto é, uma função F : R 3 → R 3 {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} , é igual à função de valor escalar:
Integrais de linha, de superfície e de volume
Uma integral de linha de uma função ao longo de uma curva pode ser pensada como uma soma contínua do valor da função ao longo de cada incremento infinitesimal dessa curva. Para um campo escalar f : U ⊆ Rn → R, a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes C ⊂ U é definida como onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva (correspondência biunívoca) arbitrária da curva C tal que r(a) e r(b) fornecem as extremidades de C e a < b {\displaystyle a<b} . Para um campo vetorial F : U ⊆ Rn → Rn, a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes C ⊂ U, na direção de r, é definida como onde ⋅ {\displaystyle \cdot } é o produto escalar e r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva da curva C tal que r(a) e r(b) fornecem as extremidades de C. Um subtipo de integral de linha encontrado na física é o laço fechado plano, que determina a circulação da função em torno do laço
Teorema fundamental das integrais de linha
O teorema do gradiente (ou teorema fundamental das integrais de linha) afirma que uma integral de linha através de um campo gradiente pode ser avaliada avaliando-se o campo escalar original nas extremidades da curva. Seja φ : U ⊆ R n → R {\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } . Então
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície Σ no espaço tridimensional euclidiano à integral de linha do campo vetorial sobre a sua fronteira ∂Σ:
Teorema da divergência
Suponha que V seja um subconjunto de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (no caso de n = 3 {\displaystyle n=3} , V representa um volume no espaço 3D) que é compacto e tem uma fronteira suave por partes S (também indicada com ∂V = S). Se F for um campo vetorial continuamente diferenciável definido numa vizinhança de V, então o teorema da divergência (ou teorema de Gauss) afirma que: O lado esquerdo é uma integral de volume sobre o volume V, o lado direito é a integral de superfície sobre a fronteira do volume V. A variedade fechada ∂V é muito geralmente a fronteira de V orientada por normais que apontam para fora, e n é o campo normal unitário da fronteira ∂V que aponta para fora. (dS pode ser usado como uma abreviatura para n dS).
O espaço tridimensional possui várias propriedades topológicas que o distinguem de espaços com outros números de dimensões. Por exemplo, são necessárias pelo menos três dimensões para amarrar um nó num pedaço de corda. Na geometria diferencial, os espaços tridimensionais genéricos são as 3-variedades, que se assemelham localmente a R 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} . Globalmente, a mesma 3-variedade pode curvar-se de diversas maneiras, desde que permaneça contínua. Um exemplo disto é o espaço-tempo curvo encontrado na relatividade geral.
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Muitas ideias de dimensão podem ser testadas com a geometria finita. A instância mais simples é o espaço PG(3,2), que tem planos de Fano como os seus subespaços bidimensionais. É uma instância da geometria de Galois, um estudo da geometria projetiva usando corpos finitos. Assim, para qualquer corpo de Galois GF ( q ) {\displaystyle {\text{GF}}(q)} , existe um espaço projetivo PG ( 3 , q ) {\displaystyle {\text{PG}}(3,q)} de três dimensões. Por exemplo, quaisquer três retas reversas em PG ( 3 , q ) {\displaystyle {\text{PG}}(3,q)} estão contidas em exatamente um regulus.
