Economia matemática
A economia matemática é a aplicação de métodos matemáticos para representar teorias econômicas e analisar problemas propostos pela economia. Ela permite a formulação e derivação de relações chave em uma teoria com claridade, generalidade, rigor e simplicidade. Por convenção, os métodos se referem àqueles por trás da simples geometria, tais como cálculo diferencial e integral, equações diferenciais, álgebra matricial e programação matemática e outros métodos computacionais.
O uso da matemática a serviço da análise social e econômica data de antes do século XVII. Principalmente nas universidades alemãs, um estilo de instrução emergiu, que lidava especificamente com a apresentação detalhada de dados como relacionados à administração pública. Gottfried Achenwall enveredou nesse estilo, cunhando o termo estatística. Ao mesmo tempo, um pequeno grupo de professores na Inglaterra estabeleceu um método de "raciocínio por números quanto às coisas relativas ao governo" e chamou esta prática de Political Arithmetick. Sir William Petty escreveu sobre assuntos que mais tarde iriam receber atenção dos economistas, tais como taxação, velocidade da moeda e renda nacional, mas apesar de sua análise ser numérica, ele rejeitou a metodologia matemática abstrata. O uso de Petty de dados numéricos detalhados (junto com John Graunt) influenciaria estatísticos e economistas por algum tempo, apesar das obras de Petty terem sido amplamente ignoradas por acadêmicos ingleses.
Os marginalistas e as raízes da economia neoclássica
Augustin Cournot e Léon Walras construíram as ferramentas da disciplina axiomaticamente ao redor da utilidade, argumentando que os indivíduos buscam maximizar suas utilidades pelas escolhas de uma forma que poderia ser descrita matematicamente. Na época, pensava-se que a utilidade era quantificável. Cournot, Walras e Francis Ysidro Edgeworth são considerados os precursores da moderna economia matemática. Cournot, um professor de matemática, desenvolveu um tratamento matemático em 1838 para o duopólio - uma condição de mercado definida pela competição entre dois vendedores. Esse tratamento de competição, publicado pela primeira vez em Researches into the Mathematical Principles of Wealth, é chamado de duopólio de Cournot. Assume-se que ambos os vendedores possuem acesso igual ao mercado e que podem produzir seus bens sem custos. Além disso, assume-se que ambos os bens são homogêneos. Cada vendedor variaria sua produção baseado na produção do outro e o preço de mercado seria determinado pela quantidade total ofertada. O lucro de cada firma seria determinado pela multiplicação de sua produção pelo preço de mercado unitário. Diferenciando a função de lucro quanto à quantidade ofertada por cada firma levaria a um sistema de equações lineares, com uma solução simultânea que daria a quantidade, preço e lucros de equilíbrio. As contribuições de Cournot para a matematização da economia seriam negligenciadas por décadas, mas posteriormente influenciariam muitos dos marginalistas. Os modelos de Cournot de duopólio e oligopólio também representam uma das primeiras formulações de jogo não-cooperativo. Atualmente, a solução pode ser considerada um equilíbrio de Nash, apesar de ter a obra de Cournot precedido a moderna teoria dos jogos em mais de 100 anos.
No final da década de 1930, os economistas viam um amplo uso de uma variedade de ferramentas matemáticas, incluindo conjuntos convexos e teoria dos grafos. Os matemáticos começaram a discutir problemas econômicos como um meio de avançar o nível da matemática pura da mesma forma que as soluções para os problemas na física levaram ao avanço na matemática de base. O problema de encontrar funções ótimas é estudado no cálculo de variações e na teoria do controle ótimo. Antes da Segunda Guerra Mundial, Frank Ramsey e Harold Hotelling usaram o cálculo de variações para econtrar soluções ótimas para problemas econômicos dinâmicos. A teoria do controle ótimo começou a ser usada para resolver problemas dinâmicos na economia, especialmente os modelos de crescimento econômico, logo após a obra de Richard Bellman sobre programação dinâmica e após a publicação da tradução inglesa do livro de Pontryagin et al. Aplicações da teoria do controle ótimo incluem aquelas em crescimento econômico, finanças, inventórios e produção, por exemplo.
Cálculo diferencial
Vilfredo Pareto analisou a microeconomia ao tratar decisões de atores econômicos como tentativas de mudar uma dada alocação de bens para outra, uma alocação mais preferida. Conjuntos de alocações poderiam então ser tratadas como eficientes de Pareto (ótimo de Pareto é um termo equivalente) quando nenhuma troca poderia ocorrer entre atores que poderiam deixar ao menos um indivíduo em melhor situação sem deixar outro indivíduo pior. A prova de Pareto é frequentemente confundida com o equilíbrio walrasiano ou informalmente atribuída a hipótese de mão invisível de Adam Smith. Ao contrário, a afirmação de Pareto foi a primeira afirmação formal do que seria conhecido como o primeiro teorema fundamental da economia do bem estar. Faltavam a esses modelos as desigualdades da geração seguinte da economia matemática.
Modelos lineares
Modelos restritos de equilíbrio geral foram formulados por John von Neumann em 1938: Ao contrários das versões anteriores, os modelos de von Neumann tinham restrições de desigualdade. Para seu modelo de uma economia em expansão, von Neumann provou a existência e a unicidade de um equilíbrio usando sua generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer. O modelo de uma economia em expansão de von Neumann considerava a o elemento A - λ B com matrizes não-negativas A e B. Von Neumann utilizou os vetores de probabilidade p e q e um número positivo λ que resolveria a equação de complementaridade junto com dois sistemas de desigualdade que expressam a eficiência econômica. Neste modelo, o vetor de probabilidade (matriz transposta) p representa os preços dos bens enquanto o vetor de probabilidade q representa a "intensidade" com a qual o processo de produção ocorreria. A solução única λ representa a taxa de crescimento da economia, que iguala a taxa de juros. Provar a existência de uma taxa de crescimento positiva e as taxas de juros iguais foram avanços notáveis, até mesmo para von Neumann. Osresultados de von Neumann foram vistos como um caso especial de programação linear, no qual o modelo de von Neumann usa apenas matrizes não-negativas. O estudo do modelo de von Neumann de uma economia em expansão continua a interessar economistas matemáticos com interesse com economia computacional.
Otimização matemática
Problemas de otimização aparecem na economia moderna, muitos com restrições econômicas ou técnicas explícitas. Propriedades de otimalidade para um sistema de mercado pode ser traduzida em termos matemáticos, assim como para o modelo Arrow-Debreu de equilíbrio geral. Mais concretamente, muitos problemas são passíveis de solução analítica (fórmulas). Muitos outros podem ser suficientemente complexos para exigir métodos numéricos de solução, auxiliado por softwares. A programação linear e não-linear enriqueceu profundamente a microeconomia, que anteriormente considerava apenas restrições de igualdade. Muitos dos economistas matemáticos que receberam Prêmios Nobel de Economia conduziram pesquisas notáveis usando a programação linear: Leonid Kantorovich, Leonid Hurwicz, Tjalling Koopmans, Kenneth J. Arrow, e Robert Dorfman, Paul Samuelson, e Robert Solow. Tanto Kantorovich quanto Koopmans reconheciam que George Dantzig merecia compartilhar os seus Prêmios Nobel pela programação linear. Economistas que conduziram pesquisas em programação não linear também ganharam Prêmios Nobel, nomeadamente Ragnar Anton Kittil Frisch, além de Kantorovich, Hurwicz, Koopmans, Arrow, e Samuelson.
Teoria dos jogos
Trabalhando com Oskar Morgenstern no livro de theory of games, von Neumann declarou que a teoria econômica necessitava usar métodos analíticos funcionais, especialmente conjuntos convexos e o teorema do ponto fixo topológico, ao invés do tradicional cálculo diferencial, porque o operador-máximo não preservava diferentes funções. Continuando com o trabalho de von Neumann na teoria do jogo cooperativo, os teoristas dos jogos Lloyd S. Shapley, Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod Megiddo e Bezalel Peleg influenciaram a pesquisa econômica. Por exemplo, pesquisas sobre preços justos em jogos cooperativos e valores justos para jogos de votação levaram a regras diferentes para votação nas legislaturas e na contabilidade de custos em projetos de obras públicas: um exemplo é o uso da teoria do jogo cooperativo no projeto de um sistema de distribuição de água no sul da Suécia, e a instalação de linhas telefônicas dedicadas nos Estados Unidos.
Economia computacional baseada no agente
A economia computacional baseada no agente é uma abordagem recente que se aproveita da teoria dos jogos e avanços nas técnicas computacionais e analíticas para modelar sistemas econômicos como resultados de "agentes intencionais que interagem no espaço e no tempo e cujas interações criam padrões emergentes."
Análise funcional
Seguindo o programa de von Neumann, Kenneth Arrow e Gérard Debreu formularam modelos abstratos de equilíbrio econômico usando conjuntos convexos e a teoria do ponto fixo. Introduziram o modelo Arrow-Debreu em 1954 e provaram a existência (mas não unicidade) de um equilíbrio e também que todo equilíbrio walrasiano é eficiente de Pareto. Em geral, os equilíbrios não precisam ser únicos. Em seus modelos, o espaço vetorial ("primal") representa quantidades enquanto o espaço vetorial "dual" representa preços. Na Rússia, o matemático Leonid Kantorovich desenvolveu modelos econômicos em espaços vetoriais parcialmente ordenados, que enfatizavam a dualidade entre quantidades e preços. Oprimido pelo comunismo, Kantorovich renomeou os preços como "valores objetivamente determinados", que era abreviados em russo como "o. o. o.", em alusão à dificuldade de discutir preços na União Soviética.
Ao longo do século XX, artigos nos principais jornais de economia eram escritos quase que exclusivamente por economistas da academia. Como um resultado, a maior parte do material transmitido nesses jornais era relacionado à teoria econômica, e "a própria teoria econômica estava continuamente sendo mais abstrata e matemática". Uma avaliação subjetiva das técnicas matemáticas empregadas nesses jornais mostrou uma diminuição nos artigos que não usavam nem representações geométricas nem notação matemática de 95% em 1892 para 5,3% em 1990. Uma pesquisa de 2007 em dez dos mais conceituados jornais econômicos descobriu que apenas 5,8% dos artigos publicados em 2003 e 2004 não usavam a análise estatística de dados e expressões matemáticas que eram indexadas a números na margem da página.
Entre as guerras mundiais, os avanços na estatística matemática e um grupo de economistas matematicamente treinados levaram ao surgimento da econometria, que era o nome proposto para a disciplina da economia avançada que usava matemática e estatística. Na economia, a "econometria" normalmente foi usada para métodos estatísticos na economia, ao invés da economia matemática. A econometria estatística apresenta a aplicação da regressão linear e análise de séries de tempo para dados econômicos. Ragnar Frisch cunhou a palavra "econometria" e ajudou a fundar tanto a Econometric Society em 1930, quanto o jornal Econometrica em 1933. Um estudante de Frisch, Trygve Haavelmo publicou The Probability Approach in Econometrics em 1944, onde ele asseverou que a análise estátistica precisa poderia ser usada como uma ferramenta para validar teorias matemáticas sobre atores econômicos com dados de fontes complexas. Essa ligação da análise estatística de sistemas com a teoria econômica foi também promulgada pela Comissão Cowles (hoje a Cowles Foundation) nas décadas de 1930 e 1940.
Primeiras obras na econometria
As raízes da econometria moderna podem ser traçadas até o economista norte-americano Henry L. Moore. Moore estudou a produtividade agrícola e tentou encaixar valores variáveis de produtividade para lotes de milhos e outras plantações em uma curva usando diferentes valores de elasticidade. Moore fez alguns erros em sua obra, algumas de sua escolha de modelos e algumas das limitações em seu uso da matemática. A precisão dos modelos de Moore também foi limitada pelos poucos dados da contabilidade nacional dos Estados Unidos na época. Apesar de seus primeiros modelos de produção serem estáticos, em 1925 ele publicou um modelo de "equilíbrio móvel" dinâmico projetado para explicar ciclos econômicos - essa variação periódica de hipercorreção nas curvas de oferta e demanda é agora conhecida como o modelo cobweb (modelo teia de aranha). Uma derivação mais formal desse modelo foi feita mais tarde por Nicholas Kaldor, que é creditado por sua popularização.
A maior parte da economia clássica pode ser apresentada em termos geométricos simples ou notação matemática elementar. A economia matemática, no entanto, convencionalmente faz uso do cálculo e álgebra matricial na análise econômica a fim de fazer afirmações poderosas que seriam mais difíceis sem tais ferramentas matemáticas. Essas ferramentas são pré-requisitos para o estudo formal, não apenas na economia matemática mas na teoria econômica contemporânea em geral. Os problemas econômicos normalmente envolvem tantas variáveis que a matemática é a única forma prática de atacá-los e resolvê-los. Alfred Marshall argumentou que todo problema econômico que pode ser quantificado, analiticamente expresso e resolvido, deveria ser tratado por meios do trabalho matemático. A economia se tornou cada vez mais dependente de métodos matemáticos e as ferramentas que ela emprega se tornaram mais sofisticadas. Como um resultado, a matemática tornou-se consideravelmente mais importante aos profissionais em economia e finanças. Programas de gradução em economia e finanças exigem uma forte preparação de pós-graduação em matemática para admissão e, por esta razão, atraem um crescente número de matemáticos. Os matemáticos aplicados usam princípios matemáticos para problemas práticos, tais como a análise econômica e outros assuntos relacionados à economia, sendo que muitos problemas econômicos são definidos como integrados no escopo da matemática aplicada.
Adequação da matemática para economia qualitativa e complicada
Friedrich Hayek sustentava que o uso de técnicas formais projeta um rigor científico que não representa adequadamente as limitações informacionais encontradas pelos agentes econômicos reais.
Previsões de teste da economia matemática
O filósofo Karl Popper discutiu o padrão científico da economia nas décadas de 1940 e 1950. Ele argumentou que a economia matemática sofria por ser tautológica. Em outras palavras, na medida em que a economia tornou-se uma teoria matemática, a economia matemática deixou de confiar na refutação empírica e passou a se voltar para provas e refutações matemáticas. De acordo com Popper, suposições falseáveis podem ser testadas pela experiência e observação, enquanto as suposições infalsificáveis podem ser exploradas matematicamente pelas suas consequências e por sua consistência com outras suposições. Compartilhando as preocupações de Popper sobre suposições na economia em geral, e não apenas na economia matemática, Milton Friedman declarou que "todas as suposições são irrealistas". Friedman propôs julgar os modelos econômicos por seu poder preditivo ao invés da combinação entre suas suposições e a realidade.
Economia matemática como uma forma de matemática pura
Considerando a economia matemática, John Maynard Keynes escreveu em A Teoria Geral: "É um grande erro dos métodos simbólicos pseudo-matemáticos formalizarem um sistema de análise econômica ... que eles expressamente assumem uma independência estrita entre os fatores envolvidos e perdem sua força de convicção e autoridade se essa hipótese não é permitida e que, no discurso comum, no qual não somos cegamente manipulados e sabemos todo o tempo o que estamos fazendo e o que as palavras significam, nós podemos manter "na parte de trás de nossas cabeças" as reservas e qualificações necessárias e as adaptações que teremos de fazer mais tarde, de um modo em que nós não podemos manter diferenciais parciais complicados "atrás" de algumas páginas de álgebra que, supõe-se, irão desaparecer. Uma grande proporção da economia matemática recente é meramente de misturas, tão imprecisas quanto as suposições iniciais nas quais elas se baseiam, e que fazem o autor perder a visão das complexidades e interdependências do mundo real em um labirinto de símbolos pretensiosos e inúteis".
Defesa da economia matemática
Em resposta a essas críticas, Paul Samuelson argumentou que a matemática é uma linguagem, repetindo a tese de Josiah Willard Gibbs. Na economia, a linguagem da matemática é algumas vezes necessária para representar problemas substantivos. Além disso, a economia matemática levou a avanços conceituais na economia. Em particular, Samuelson deu o exemplo da microeconomia, escrevendo que "algumas pessoas são engenhosas o suficiente para entender suas partes mais complexas... sem recorrer à linguagem matemática, enquanto a maioria dos indivíduos comuns podem fazer isso facilmente com a ajuda da matemática." Alguns economistas dizem que a economia matemática merece um apoio assim como outras formas de matemática, particularmente seus irmãos na otimização e na estatística, e ainda mais na ciência da computação teórica. A economia matemática e outras ciências matemáticas possuem uma história na qual avanços teóricos têm contribuído regularmente para a reforma dos ramos mais aplicados da economia. Em particular, seguindo o programa de John von Neumann, a teoria dos jogos hoje fornece as bases para descrever grande parte da economia aplicada, da teoria da decisão estatística (como "jogos contra a natureza") e econometria à teoria do equilíbrio geral e organização industrial. No final do século XX, com o surgimento da internet, os economistas matemáticos e os especialistas em otimização e cientistas computacionais trabalharam em problemas de preços de serviços on-line - eles contribuíram usando matemática da teoria dos jogos cooperativos, otimização não-diferenciável e jogos combinatórios.
Economistas matemáticos proeminentes incluem, mas não são limitados a, os seguintes (por século de nascimento).
