Desigualdade das médias
A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.
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Como x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 {\displaystyle x_{2}} são reais, temos: Somando 4 x 1 x 2 {\displaystyle 4x_{1}x_{2}} , obtemos: Assumindo como sendo números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2: A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como: Multiplique ambos os lados por : x 1 x 2 {\displaystyle x_{1}x_{2}} : E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:
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Queremos a igualdade para n = 2 k {\displaystyle n=2^{k}} , com k inteiro positivo. Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado. Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para n = 2 k {\displaystyle n=2^{k}} : Aplique a desigualdade da média com dois elementos: Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos: E a primeira desigualdade segue pois 2 n = 2 ⋅ 2 k = 2 k + 1 {\displaystyle 2n=2\cdot 2^{k}=2^{k+1}} Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:
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Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos. Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja: Queremos mostrar que p ≥ q ≥ r {\displaystyle p\geq q\geq r} Substitua x n = q {\displaystyle x_{n}=q\,}
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Se, na desigualdade de Cauchy fizermos b 1 = b 2 = b 3 = . . . = b n = 1 {\displaystyle b_{1}=b_{2}=b_{3}=...=b_{n}=1} , ela assume a forma:
