Representação de Galois

Na teoria algébrica dos números clássica, seja L uma extensão de Galois de um corpo K, e seja G o grupo de Galois correspondente. Então o anel OL dos inteiros algébricos de L pode ser considerado como um módulo sobre OK[G], e pode-se perguntar qual é a sua estrutura. Esta é uma questão aritmética, pois pelo teorema da base normal sabe-se que L é um módulo livre sobre K[G] de posto 1. Se o mesmo for verdadeiro para os inteiros, isso equivale à existência de uma base integral normal, isto é, de um elemento α em OL tal que seus conjugados sob G forneçam uma base livre para OL sobre OK. Essa é uma questão interessante mesmo (talvez especialmente) quando K é o corpo dos números racionais Q. Por exemplo, se L = Q(√−3), existe uma base integral normal? A resposta é sim, como se vê identificando-o com Q(ζ), onde De fato, todos os subcorpos dos corpos ciclotômicos para raízes p-ésimas da unidade, com p um número primo, possuem bases integrais normais (sobre Z), como se pode deduzir da teoria dos períodos gaussianos (o teorema de Hilbert–Speiser). Por outro lado, o corpo gaussiano não possui. Este é um exemplo de uma condição necessária encontrada por Emmy Noether (talvez conhecida anteriormente?). O que importa aqui é a ramificação mansa. Em termos do discriminante D de L, e ainda tomando K = Q, nenhum primo p deve dividir D à potência p. Então o teorema de Noether afirma que a ramificação mansa é necessária e suficiente para que OL seja um módulo projetivo sobre Z[G]. Portanto, certamente ela é necessária para que seja um módulo livre. Permanece a questão da diferença entre livre e projetivo, para a qual uma vasta teoria foi desenvolvida.

Muitos objetos que surgem em teoria dos números são naturalmente representações de Galois. Por exemplo, se L é uma extensão de Galois de um corpo de números K, o anel de inteiros OL de L é um módulo de Galois sobre OK para o grupo de Galois de L/K (ver teorema de Hilbert–Speiser). Se K é um corpo local, o grupo multiplicativo de seu fecho separável é um módulo para o grupo de Galois absoluto de K, e seu estudo conduz à teoria local dos corpos de classes. Para a teoria global dos corpos de classes, usa-se em vez disso a união dos grupos de classes dos ideles de todas as extensões separáveis finitas de K. Também existem representações de Galois que surgem de objetos auxiliares e podem ser usadas para estudar grupos de Galois. Uma família importante de exemplos são os módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas.

Se K é um corpo local ou global, a teoria das formações de classes associa a K seu grupo de Weil WK, um homomorfismo contínuo de grupos φ : WK → GK, e um isomorfismo de grupos topológicos onde CK é K× ou o grupo de classes dos ideles IK/K× (dependendo de K ser local ou global) e W abK é a abelianização do grupo de Weil de K. Via φ, qualquer representação de GK pode ser considerada como uma representação de WK. Contudo, WK pode ter estritamente mais representações do que GK. Por exemplo, via rK os caracteres complexos contínuos de WK estão em bijeção com os de CK. Assim, o caractere valor absoluto em CK produz um caractere de WK cuja imagem é infinita e, portanto, não é um caractere de GK (pois todos estes têm imagem finita). Uma representação ℓ-ádica de WK é definida da mesma forma que para GK. Estas surgem naturalmente da geometria: se X é uma variedade projetiva suave sobre K, então a cohomologia ℓ-ádica da fibra geométrica de X é uma representação ℓ-ádica de GK que, via φ, induz uma representação ℓ-ádica de WK. Se K é um corpo local de característica residual p ≠ ℓ, então é mais simples estudar as chamadas representações de Weil–Deligne de WK.