Condução térmica
No estudo da transferência de calor, condução térmica ou difusão térmica é a transferência de energia térmica entre átomos e/ou moléculas vizinhas em uma substância devido a um gradiente de temperatura. Em outras palavras, é um modo do fenômeno de transferência térmica causado por uma diferença de temperatura entre duas regiões em um mesmo meio ou entre dois meios em contato no qual não se percebe movimento global da matéria na escala macroscópica, em oposição à convecção que é outra forma de transferência térmica.
O fluxo de calor sempre ocorre a partir de uma região de maior temperatura para uma região de baixa temperatura, e atua no sentido de equalizar as diferenças de temperatura. Genericamente, a propagação de calor por condução ocorre sem transporte da substância formadora do sistema, ou seja, através de choques entre suas partículas integrantes ou intercâmbios energéticos dos átomos, moléculas, e elétrons. A condução térmica pode ser interpretada como a transmissão passo a passo de agitação térmica: um átomo (ou uma molécula) transfere parte de sua energia cinética ao átomo vizinho, sendo assim um fenômeno de transporte de energia interna provocado pela heterogeneidade da agitação molecular, sendo assim um fenômeno termodinamicamente irreversível.
Condução nos diversos estados da matéria
Condução ocorre em todas as formas de matéria, sólidos, líquidos, gases e plasmas, mas não requer qualquer movimento macroscópico de massa da matéria condutora, mas apenas de seus componentes subatômicos ou sua vibração, em escala microscópica. A condução é o meio mais importante de transferência de calor dentro de um sólido ou objetos sólidos em contato térmico. A condução é maior nos sólidos, porque a rede espacial de relações relativamente fixas entre os átomos contribui para a transferência de energia entre eles por vibração. A transferência inter-molecular de energia pode ser primariamente por impacto elástico como em fluidos ou por difusão de elétrons livres como em metais ou vibração de fônons como em isolantes. Em isolantes o fluxo de calor é conduzido quase inteiramente por vibração de fônons.
Condução em estado estacionário
Condução em estado estacionário é a forma de condução que ocorre quando a diferença de temperatura conduzindo a condução é constante de modo que após um tempo de equilíbrio, a distribuição espacial das temperaturas (campo de temperatura) no objeto condutor não mais se altera. Assim, todas as derivadas parciais de temperatura com relação ao espaço tem valores, mas todos as derivadas da temperatura em função do tempo são uniformemente nulas (possuem valor igual a zero). Por exemplo, uma barra pode ser fria em uma extremidade e quente na outra, mas depois que um estado de condução em estado estacionário é atingido, o gradiente espacial de temperatura ao longo da barra não mais altera-se com o tempo. Em vez disso, a temperatura em qualquer ponto dado da haste permanece constante, e essa temperatura varia linearmente no espaço, ao longo da direção de transferência de calor.
Condução transiente
Existem também situações de estado não estacionário, nas quais uma alteração de temperatura ou fonte de calor pode ser repentinamente introduzida, e a condução de calor no interior de um objeto não tem tempo de se ajustar ao novo fluxo de calor. Em tais situações, os fluxos de calor e as temperaturas no interior dos objetos mudam com o tempo, até um novo estado estacionário de gradiente térmico, ou então um estado de temperatura uniforme é alcançado (o que sempre acontece, eventualmente, se as temperaturas externas e as fontes de calor e seus sumidouros não são alterados). Durante o período de tempo que a temperatura em qualquer ponto do espaço em um objeto ou uma mudança de fluidos no tempo, o modo de condução de calor é chamado de condução transiente. A palavra transiente refere-se a distribuições de temperatura no interior do objeto, que mudam ao longo do tempo e, portanto, são transitórias.
Condução relativística
A teoria da condução de calor relativística é um modelo que é compatível com a teoria da relatividade especial. Na maior parte do século passado, foi reconhecido que a equação de Fourier está em contradição com a teoria da relatividade porque admite uma velocidade infinita de propagação de sinais de calor. Por exemplo, segundo a equação de Fourier, um pulso de calor na origem seria sentido no infinito instantaneamente. A velocidade de propagação de informações seria mais rápida que a velocidade da luz no vácuo, o que é fisicamente inadmissível no âmbito da relatividade. Alterações ao modelo de Fourier prevendo um modelo relativista de condução de calor, evitam esse problema.
Condução quântica
Segundo som é um fenômeno mecânico quântico no qual transferência de calor ocorre por movimento na forma de onda, em vez de pelo mecanismo mais comum da difusão. Calor toma o lugar da pressão nas ondas de som normais. Isto conduz a uma condutividade térmica muita alta. É conhecido como "segundo som" porque a onda de calor é similar à propagação de som no ar.
A lei da condução térmica, também conhecida como lei de Fourier, estabelece que o fluxo de calor através de um material é proporcional ao gradiente negativo de temperatura. Podemos enunciar esta lei de duas formas equivalentes: a forma integral, em que olhamos para a quantidade de energia que flui para dentro ou para fora de um corpo como um todo; e a forma diferencial, em que olhamos para os fluxos de energia localmente. O fluxo de calor é a quantidade de energia que flui através de uma unidade de área por unidade de tempo. Pode-se determinar o fluxo de calor transportado por condução pela Lei de Fourier: A expressão acima aplica-se ao caso unidimensional, quando há gradiente de temperatura apenas na direção x {\displaystyle x} . Se a distribuição de temperatura for linear e, neste caso ∂ T ∂ x = T 2 − T 1 L {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {T2-T1}{L}}} , a equação acima toma a forma:
Existem várias grandezas envolvidas, mas entre elas existem duas que são de muita importância de interesse prático no estudo de problemas de condução de calor. Estas grandezas são a razão de fluxo de calor e a distribuição da temperatura. As razões de fluxo de calor tratam da demanda de energia em um dado sistema, quando se requer uma distribuição de temperaturas conveniente para desenhar de maneira adequada no sistema, desde o ponto de vista dos materiais. Em um fenômeno qualquer, uma vez que seja conhecida a distribuição da temperatura é possível determinar as razões de fluxo de calor com ajuda da denominada Lei de Fourier (de 1822, estabelecida por Jean Baptiste Joseph Fourier). A distribuição da temperatura é linear, e o fluxo de calor é constante de um extremo a outro de uma placa, para o caso da equação radial produzida. E portanto a distribuição da temperatura apresenta-se em forma logarítmica:
Forma diferencial
A forma diferencial da lei de Fourier da condução térmica mostra que o fluxo de calor local, q → {\displaystyle {\overrightarrow {q}}} , é igual ao produto da condutividade térmica, k {\displaystyle k} , e o gradiente de temperatura local negativo, − ∇ T {\displaystyle -\nabla T} . O fluxo de calor é a quantidade de energia que flui através de uma superfície particular por unidade de área por unidade de tempo. A condutividade térmica, k {\displaystyle k} , é frequentemente tratada como um constante, embora isto nem sempre seja verdade. Enquanto a condutividade térmica de um material geralmente varia com a temperatura, a variação pode ser pequena para uma significativa faixa de temperaturas para alguns materiais comuns. Em materiais anisotrópicos, a condutividade térmica varia tipicamente com orientação; neste caso k {\displaystyle k} é representada por um tensor de segunda ordem. Em materiais não uniformes, k {\displaystyle k} varia com a localização espacial.
Forma integral
Pela integração da forma diferencial sobre a superfície total do material S {\displaystyle S} , chega-se à forma integral da lei de Fourier: A equação diferencial acima, quando integrada para um material homogêneo de geometria 1-D entre dois pontos a uma temperatura constante, dá a taxa de fluxo de calor como: Esta lei forma a base para a derivação da equação do calor. A lei de Ohm é o análogo elétrico da lei de Fourier.
onde U {\displaystyle U} é a condutância, em W / ( m 2 K ) {\displaystyle W/(m^{2}~K)} . Lei de Fourier pode também ser enunciada como: A recíproca da condutância é a resistência, R {\displaystyle R} , dada por: e é a resistência que é aditiva quando várias camadas condutivas situam-se entre as regiões quente e fria, porque A {\displaystyle A} e Q {\displaystyle Q} são as mesmas para todas as camadas. Em uma partição de multicamadas, a condutância total está relacionada com a condutância de suas camadas por: Assim, quando trata-se de uma partição de multicamadas, a seguinte fórmula é geralmente usada: Quando o calor é conduzido a partir de um fluido para outro através de uma barreira, às vezes é importante considerar a condutância da fina película de fluido que permanece estacionária próximo a barreira. Esta fina película de líquido é difícil de quantificar, suas características, dependendo das complexas de turbulência e viscosidade, mas quando se lida com os obstáculos finos de alta condutância por vezes pode ser bastante significativa.
Representação de propriedade intensiva
As equações de condutância anteriores escritas em termos de propriedades extensivas, podem ser reformuladas em termos de propriedades intensivas. Idealmente, as fórmulas de condutância devem produzir uma grandeza com dimensões independentes da distância, como a lei de Ohm da resistência elétrica: onde ρ {\displaystyle \rho } é a resistividade, x {\displaystyle x} é o comprimento e A {\displaystyle A} é a área de seção tranversal, temos onde G {\displaystyle G} é a condutância, k {\displaystyle k} é a condutividade, x {\displaystyle x} é o comprimento e A {\displaystyle A} é a área de seção tranversal. onde U {\displaystyle U} é a condutância.
Cilindros
Condução através de cilindros pode ser calculada quando conhece-se variáveis tais como o raio interno r 1 {\displaystyle r_{1}} , o raio externo r 2 {\displaystyle r_{2}} , e o comprimento notado como ℓ {\displaystyle \ell } . A diferença de temperatura entre a parede interna e externa pode ser expressa como T 2 − T 1 {\displaystyle T_{2}-T_{1}} . A área do fluxo de calor: A r = 2 π r ℓ {\displaystyle A_{r}=2\pi r\ell } Portanto, a taxa de transferência de calor é Tendo-se Q = 2 π k ℓ r m T 1 − T 2 r 2 − r 1 {\displaystyle Q=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}} , onde r m = r 2 − r 1 ln r 2 − ln r 1 {\displaystyle r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln r_{2}-\ln r_{1}}}} sendo importante notar que este é o raio log médio.
Define-se um regime estacionário (ou permanente), quando as temperaturas não dependem do tempo. A temperatura depende apenas da disposição do ponto em que as medidas são tomadas ao longo do tempo. Para o restante desta divisão deste artigo, assume-se como estabelecido um estado de equilíbrio.
Superfície plana simples
O material é um meio condutor térmico delimitado por dois planos paralelos (o caso de uma parede). Cada plano tem uma temperatura T {\displaystyle T} homogênea por toda a sua superfície. Consideramos que os planos têm duas dimensões infinitas para superar os efeitos de borda. Por conseguinte, o fluxo de entrada é igual ao de saída, não há perda de calor nas extremidades. Note-se que T 1 {\displaystyle T_{1}} a temperatura do plano situado na abscissa x 1 {\displaystyle x_{1}} , e T 2 {\displaystyle T_{2}} a temperatura do plano situado na abscissa x 2 {\displaystyle x_{2}} . Note-se que e = x 2 − x 1 {\displaystyle e=x_{2}-x_{1}} é a espessura da parede. Em regime estacionário, T {\displaystyle T} é uma função linear de x {\displaystyle x} , assim:
Surperfícies planas em série
Considere-se materiais A,B e C de espessura respectivamente e A {\displaystyle e_{A}} , e B {\displaystyle e_{B}} e e C {\displaystyle e_{C}} e de condutividade térmica respetivamente λ A {\displaystyle \lambda _{A}} , λ B {\displaystyle \lambda _{B}} e λ C {\displaystyle \lambda _{C}} . Os pressupostos são idênticos aos de uma única superfície plana. Consideramos que o contacto entre cada camada é perfeito, o que significa que a temperatura na interface entre dois materiais é idêntica em cada material (temperatura não salta na passagem por uma interface). Finalmente, a área de contato entre cada material é constante, o que implica um fluxo de superfície φ {\displaystyle \varphi } constante.
Superfícies planas em paralelo
Considere-se materiais planos justapostos lado a lado. Cada material é homogêneo e delimitado por dois planos paralelos. Este poderia ser o modelo de uma parede com uma janela. As hipóteses são idênticas as de uma superfície plana única. Além disso, considera-se que a temperatura da superfície é uniforme em cada elemento ( T 1 {\displaystyle T_{1}} et T 2 {\displaystyle T_{2}} ). Considere-se S A , S B e S C {\displaystyle S_{A}~,~S_{B}~e~S_{C}} as respectivas superfícies dos elementos A , B e C {\displaystyle A,~B~e~C} . Posteriormente, presume-se que o fluxo seja sempre perpendicular à parede composta; o que não é realista porque a temperatura da superfície de cada elemento da composição é diferente e há, portanto, um gradiente de temperatura lateral (a origem das pontes térmicas). Além disso, é necessário corrigir o fluxo de calor calculado na parede feita com os coeficientes de perda por unidade de comprimento, específicos para cada ramo de parede (e pode ser insignificante, cf. a regulamentação térmica RT 2000).
Superfície cilíndrica simples
O tubo simples consiste de um material único e homogêneo. A temperatura é uniforme em cada superfície do tubo. Considera-se o tubo infinitamente longo para superar os efeitos da borda. Considera-se uma variação d R {\displaystyle dR} dentro do material constituinte do tubo, a lei de Fourier é então expressa como: Variação da temperatura na espessura do tubo Sendo S {\displaystyle S} a superfície de um cilindro: Podemos escrever a lei de Fourier na forma: Em toda a espessura do tubo, a variação é
Superfícies cilíndricas concêntricas
O tubo concêntrico é composto por tubos dispostos em camadas concêntricas. Considere-se que o contato é perfeito entre os tubos. A temperatura é uniforme em cada superfície do tubo. Considere-se que o tubo possui um comprimento interminável L para superar os efeitos de borda. A resistência total do tubo é expressa por uma lei da tipo "série como a parede compondo uma série: Evolução da temperatura na primeira camada: Evolução da temperatura na segunda camada: A resistência térmica da camada A {\displaystyle A} A resistência térmica da camada B {\displaystyle B} Chegando-se a que resistência total do tubo é expressa por uma lei da tipo "série como a parede compondo uma série:
A resolução da equação do calor em regime dinâmico é muito mais difícil. Ela usa os conceitos de transformada de Fourier de produto de convolução e distribuições. Apresentam-se alguns exemplos de resolução.
Caso de uma área ilimitado
onde D {\displaystyle D} é o coeficiente de difusividade térmica e P {\displaystyle P} representa as fontes de calor. P {\displaystyle P} pode ser uma função do tempo e da posição da fonte de calor, mas também uma distribuição. Por exemplo, a injeção instantânea e pontual de uma quantidade de calor pode ser representada pelo produto δ ( t ) δ ( x ) {\displaystyle \delta (t)\delta (x)} de uma distribuição de Dirac no instante t = 0 {\displaystyle t=0} por uma distribuição de Dirac em x = 0 , x {\displaystyle x=0~,x} é a abscissa em caso de problema unidimensional ou vetor de posição no caso geral. Ela também dará o estado inicial do área T 0 = T ( 0 , x ) {\displaystyle T_{0}=~T(0,x)} , que também pode ser uma função de x {\displaystyle x} ou uma distribuição. Considera-se que T {\displaystyle T} é nulo para t < 0 {\displaystyle t~<~0} .
Caso de áreas limitadas, sem fonte de calor
Supondo-se o área limitada pelo plano x = 0 {\displaystyle x=0} . Se coloca-se por condição os limites suplementares T ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle T(0,~t)=0} para todo t {\displaystyle t} , então basta estender a distribuição inicial de temperatura T 0 {\displaystyle T_{0}} por uma função ímpar em x {\displaystyle x} e aplicar-se o resultado anterior. O caso mais célebre é o problema de Kelvin. Este considerou em 1860 que a Terra estava inicialmente a uma temperatura constante T 0 {\displaystyle T_{0}} da ordem de 3000° e que se resfriava por simples condução. Utilizando o valor atual do gradiente de temperatura em função da profundidade, ele deduziu uma estimativa para a idade da Terra. Pode-se aplicar o método de resolução acima para considerar a Terra como plana e infinitamente profunda, delimitado por um plano de sua superfície. O cálculo conduz a:
Caso de áreas limitadas, com fonte de calor
com P {\displaystyle P} não nulo. Em geral, procura-se uma solução particular para esta equação, de modo que, uma vez relacionada a T {\displaystyle T} , pode ser reduzida a uma equação sem segundo membro. Apresentam-se alguns exemplos, onde P {\displaystyle P} representa uma densidade de fonte de calor constante, independente da posição e do tempo. Considere-se uma área limitada pelos dois planos x = 0 {\displaystyle x=0} e x = L {\displaystyle x=L} . Supondo-se que no momento inicial, a temperatura da área é igual a uma temperaturea de referência nula, e que as bordas da área se manterão permanentemente esta temperatura nula. T {\displaystyle T} satisfaz, pois:
