Poliedro
Em geometria elementar, o poliedro é um sólido em três dimensões com faces poligonais planas, bordas retas (arestas) e cantos ou vértices acentuados. A palavra poliedro vem do grego clássico πολύεδρον, o poly- + -hedra.
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Na geometria elementar, as faces são polígonos — regiões de planos — que se encontram em pares ao longo de suas arestas, que são segmentos de linha reta, e com as arestas se encontrando em pontos de vértice. Tratar um poliedro como um sólido delimitado por faces planas e bordas retas não é muito preciso; Por exemplo, é difícil conciliar com poliedros estrela. Grünbaum (1994, p.43) observou: "O Pecado Original na teoria dos poliedros remonta a Euclides, e através de Kepler, Poinsot, Cauchy e muitos outros. [em que] em cada estágio … os escritores falharam definindo o que são os "poliedros" … "Muitas definições de" poliedro "foram dadas em contextos particulares, alguns mais rigorosos do que outros. Por exemplo, as definições baseadas na ideia de uma superfície de delimitação em vez de um sólido são comuns. No entanto, essas definições nem sempre são compatíveis em outros contextos matemáticos.
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Superfície de um Poliedro
Uma característica definidora de quase todos os tipos de poliedros é que apenas duas faces se unem ao longo de qualquer bordo comum. Do mesmo modo, qualquer aresta encontra apenas dois vértices, um em cada extremidade. Estas duas características são duplas entre si e asseguram que a superfície poliédrica está ligada continuamente e não termina abruptamente ou se separa em direções diferentes. Por razões semelhantes, a superfície pode não ser divisível em duas partes, de modo que cada parte é um poliedro válido. Isso exclui tanto os poliedros compostos auto-intersectantes quanto as figuras unidas apenas por um vértice ou uma aresta, como dois tetraedros unidos em um ápice comum.
Números de faces
Poliedros podem ser classificados e muitas vezes são nomeados de acordo com o número de faces. O sistema de nomeação é baseado no grego clássico, por exemplo tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6), triacontaedro (30), e assim por diante.
Característica Topológica
A classe topológica de um poliedro é definida por sua característica e orientabilidade de Euler. Nesta perspectiva, qualquer superfície poliédrica pode ser classificada como um certo tipo de coletor topológico. Por exemplo, a superfície de um poliedro convexo ou mesmo simplesmente conectado é uma esfera topológica.
Teorema de Euler/Relação de Euler
A característica de Euler x relaciona o número de vértices V, bordas E, e faces F de um poliedro. Isto é igual à característica topológica de Euler de sua superfície. Para um poliedro convexo ou quase todo poliedro simplesmente conectado (isto é, com superfície uma esfera topológica),x = 2. Para formas mais complicadas, a característica de Euler refere-se ao número de furos toroidais, alças ou tampas cruzadas na superfície x será menor que 2. A descoberta de Leonhard Euler da característica que carrega seu nome marcou o começo da disciplina moderna da topologia. Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação: Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.
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O octaedro é dual de um cubo.Para cada poliedro existe um poliedro dual, tendo: O octaedro é dual de um Cubo O dual de um poliedro convexo e de muitos outros poliedros pode ser obtido pelo processo de reciprocidade polar. Poliedros duplos existem em pares. O dual de um dual é apenas o poliedro original novamente. Alguns poliedros são auto-dual, o que significa que o dual do poliedro é congruente com o poliedro original.
Figura de Vértice
Para cada vértice pode-se definir uma figura de vértice, que descreve a estrutura local do poliedro em torno do vértice. Definições precisas variam, mas uma figura de vértice pode ser pensado como o polígono exposto onde uma fatia através do poliedro corta um canto. Se a figura do vértice é um polígono regular, então o vértice em si é dito ser regular.
Volume
Qualquer poliedro regular pode ser dividido em pirâmides congruentes, tendo cada pirâmide uma face do poliedro como sua base e o centro do poliedro como seu ápice. A altura de uma pirâmide é igual ao inradius do poliedro. Se a área de uma face é e o inradius é, então o volume da pirâmide é um terço da base vezes a altura. Para um poliedro regular com faces, seu volume é simplesmente. Por exemplo, um cubo com bordas de comprimento, tem seis faces, cada face sendo um quadrado de área. O inradius do centro da face para o centro do cubo é, então o volume dado é: a fórmula usual para o volume de um cubo. O volume de qualquer poliedro orientável pode ser calculado usando o teorema da divergência. Considere o campo vetorial cuja divergência é idêntica a 1. O teorema da divergência implica que o volume é igual a uma integral de superfície de:
Um poliedro é um conjunto de pontos que pode ser escrito na forma: Portanto um poliedro é a intersecção de semi-espaços. Dizemos que um poliedro está no formato padrão se ele é escrito como: É possível demonstrar que qualquer poliedro pode ser escrito na forma padrão.
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O estrelamento de um poliedro consiste em estender os planos definidos pelas suas faces até se intersectarem, formando assim um novo sólido.
Poliedros duais
O poliedro dual é obtido ligando os centros de todos os pares de faces adjacentes de qualquer sólido, produzindo-se outro sólido menor. Quando há a dualidade entre dois poliedros dizemos que estes são poliedros conjugados.
Truncatura
A Truncatura de um Sólido consiste na remoção dos vértices de um sólido (poliedro). Com isso adquirimos um novo poliedro com mais faces diferentes.
Acumulação
A Acumulação de sólidos é a operação dual da truncatura e consiste em substituir as faces poligonais por pirâmides, cúpulas, prismas ou outros poliedros.
Snubificação
A Snubificação de um Poliedro consiste em afastar as faces do poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher o espaço vazio entre as novas faces com triângulos.
Expansão
A Expansão de Sólido é um caso especial de uma Snubificação sem rotação. A operação consiste em afastar todas as faces do poliedro e preencher os espaços vazios resultantes com polígonos (triângulos, rectângulos, pentágonos, etc.). Ou seja é uma operação onde um poliedro permite a origem de outro poliedro.
Composição
Composição de Sólido consiste em colocar vários poliedros (ou sólidos) partilhando o mesmo centro. O poliedro resultante chama-se Poliedro composto.
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Existem 9 poliedros regulares que são os cinco sólidos platônicos de faces regulares e os 4 poliedros de Kepler-Poinsot.
Sólidos platônicos
São apenas cinco os poliedros platônicos e, consequentemente, são apenas cinco os poliedros regulares convexos.
Poliedros de Kepler-Poinsot
São poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos.
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Sólidos de Arquimedes
Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos. Onze são obtidos truncando sólidos platônicos: O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.
Prismas e Antiprismas
Os prismas e antiprismas são grupos infinitos. Os Prismas são constituídos por duas faces paralelas chamadas diretrizes que dão o nome ao prisma, e uma série de retângulos, tantos como lados da face diretriz. Por exemplo, o prisma cujas faces diretrizes são triangulares chama-se prisma triangular e compõe-se de 2 triângulos e 3 retângulos; tem 9 arestas e 6 vértices de ordem 3 de onde convergem sempre dois retângulos e um triângulo. Outro exemplo seria o Prisma decagonal composto de 2 decágonos + 10 rectângulos; tem 30 arestas e 20 vértices de ordem 3. Os antiprismas são poliedros constituídos por duas faces poligonais iguais e paralelos chamadas diretrizes, ligados por triângulos.
Pirâmides e Bipirâmides
Pirâmide de n-lados é um poliedro formado pela ligação de todos os vértices de um lado poligonal de n lados com um único ponto, chamado vértice da pirâmide, através de n faces triangulares. Bipirâmide ou dipirâmide é um poliedro formado juntando a uma pirâmide e sua imagem do espelho na base. Exemplo Octaedro.
Sólidos de Catalán
Os Sólidos de Catalan são os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes O Tetraedro triakis; o Dodecaedro rômbico; o Octaedro triakis; o Hexaedro tetrakis; o Icositetraedro deltoidal; o Dodecaedro disdiakis; o Icositetraedro pentagonal; o Triacontaedro rômbico; o Icosaedro triakis; o Dodecaedro pentakis; o Hexecontaedro deltoidal; o Triacontaedro disdiakis e o Hexecontaedro pentagonal.
Deltaedros
Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Há infinitos deltaedros, mas apenas oito são convexos:
Trapezoedros
Um Trapezoedro ou deltoedro é um poliedro dual de um antiprisma. As suas faces são deltóides.
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Diz-se que um poliedro é convexo se sua superfície (compreendendo suas faces, arestas e vértices) não se intercepta e o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do poliedro está contido no interior ou na superfície. Um poliedro convexo é às vezes definido como um conjunto convexo de pontos no espaço, a interseção de um conjunto de semi-espaços, ou o casco convexo de um conjunto de pontos. No entanto, muitas dessas definições não podem ser facilmente estendidas para incluir figuras auto-intersectantes, como os poliedros estrelares. Classes importantes de poliedros convexos incluem os sólidos platônicos, sólidos de Arquimedes e duplos de Arquimedes ou sólidos catalães, e o deltahedra de faces regulares e sólidos de Johnson. Os poliedros convexos, e especialmente as pirâmides triangulares ou os 3-símplex, são importantes em muitas áreas da matemática, especialmente aquelas relacionadas à topologia.
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Muitos dos poliedros mais estudados são altamente simétricos. Um poliedro simétrico pode ser girado e sobreposto na sua posição original de modo que suas faces e assim por diante tenham mudado de posição. Diz-se que todos os elementos que podem ser sobrepostos uns aos outros desta forma estão numa determinada "órbita de simetria". Por exemplo, todas as faces de um cubo estão em uma órbita, enquanto todas as bordas se encontram em outra. Se todos os elementos de uma dada dimensão, digamos todas as faces, estão na mesma órbita, a figura é dita "transitiva" nessa órbita. Por exemplo, um cubo tem um tipo de face para que seja face-transitivo, enquanto um cubo truncado tem dois tipos de face e não é. Esses poliedros podem ser distorcidos de modo que não sejam mais simétricos. Mas onde um nome poliédrico é dado, como o icosidodecaedro, a geometria mais simétrica é quase sempre implícita, a menos que indicado de outra forma.
Poliedro Regular
Poliedros regulares são os mais altamente simétricos. No total, existem nove poliedros regulares. Os cinco exemplos convexos são conhecidos desde a antiguidade e são exemplos de sólidos platônicos. Estes são a pirâmide triangular regular ou tetraedro regular, o cubo (hexaedro regular), o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular: Existem também quatro poliedros de estrelas regulares, conhecidos como os poliedros de Kepler-Poinsot. O dual de um poliedro regular também é regular.
Poliedros uniformes e seus duais
Poliedros uniformes são vértices-transitivos e cada face é um polígono regular. Podem ser subdivididos em regulares, quase regulares ou semi-regulares, e podem ser convexos ou estrelados. Os duais uniformes têm faces irregulares, mas são face-transitivo e cada vértice figura é um polígono regular. Um poliedro uniforme tem as mesmas órbitas de simetria que o seu dual, com as faces e os vértices simplesmente trocados. Os duais dos poliedros convexos de Arquimedes são chamados às vezes de sólidos Catalán. Os poliedros uniformes e seus duais são tradicionalmente classificados de acordo com seu grau de simetria e se são convexos ou não.
Pirâmides
Pirâmides simétricas incluem alguns dos mais honrados e famosos de todos os poliedros, como as pirâmides egípcias de quatro lados.
Poliedro Nobre
Um poliedro nobre é tanto isoédrico, quanto isogonal, mas não necessariamente iguais. Além dos poliedros regulares, há muitos outros exemplos. O dual de um poliedro nobre também é nobre.
Isoédro
Um isoedro é um poliedro com simetrias que atuam transitivamente em suas faces. Sua topologia pode ser representada por uma configuração de face. Todos os cinco sólidos platônicos e 13 sólidos catalán são isoedros, bem como as infinitas famílias de trapézios e pirâmides. Alguns isoedros permitem variações geométricas incluindo formas côncavas e auto-intersecção.
Grupos de Simetria
Muitas das simetrias ou grupos de três dimensões são nomeados após poliedros com a simetria associada. Esses incluem: Aqueles com simetria quiral não têm simetria de reflexão e, portanto, têm duas formas enantiomorfas que são reflexos uns dos outros. Exemplos incluem o cubododecaedro e icosidodecaedro.
