Quase-categoria

As quase-categorias foram introduzidas por Boardman & Vogt (1973). André Joyal avançou muito o estudo das quase-categorias, mostrando que a maior parte da teoria básica usual das categorias e algumas das noções e teoremas avançados têm seus análogos para as quase-categorias. Um tratado elaborado da teoria das quase-categorias foi exposto por Jacob Lurie (2009). As quase-categorias são certos conjuntos simpliciais. Como as categorias comuns, elas contêm objetos (os 0-simplexos do conjunto simplicial) e morfismos entre esses objetos (1-simplexos). Mas, ao contrário das categorias, a composição de dois morfismos não precisa ser definida de forma única. Todos os morfismos que podem servir como composição de dois morfismos dados estão relacionados entre si por morfismos invertíveis de ordem superior (2-simplexos pensados como "homotopias"). Esses morfismos de ordem superior também podem ser compostos, mas novamente a composição é bem definida apenas a menos de morfismos invertíveis de ordem ainda mais alta, etc.

Por definição, uma quase-categoria C {\displaystyle C} é um conjunto simplicial que satisfaz as condições de Kan internas (também chamadas de condição fraca de Kan): todo corno interno (inner horn) em C {\displaystyle C} , a saber, um mapa de conjuntos simpliciais Λ k [ n ] → C {\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C} onde 0 < k < n {\displaystyle 0<k<n} , tem um preenchimento (filler), isto é, uma extensão para um mapa Δ [ n ] → C {\displaystyle \Delta [n]\to C} . (Veja fibração de Kan para uma definição dos conjuntos simpliciais Δ [ n ] {\displaystyle \Delta [n]} e Λ k [ n ] {\displaystyle \Lambda ^{k}[n]} .) A ideia é que os 2-simplexos Δ → C {\displaystyle \Delta \to C} devem representar triângulos comutativos (pelo menos a menos de homotopia). Um mapa Λ 1 → C {\displaystyle \Lambda ^{1}\to C} representa um par composível. Assim, em uma quase-categoria, não se pode definir uma lei de composição para morfismos, uma vez que se pode escolher muitas maneiras de compor os mapas.

Dada uma quase-categoria C {\displaystyle C} , pode-se associar a ela uma categoria comum h C {\displaystyle hC} , chamada de categoria de homotopia de C {\displaystyle C} . A categoria de homotopia tem como objetos os vértices de C {\displaystyle C} . Os morfismos são dados por classes de homotopia de arestas entre os vértices. A composição é dada usando a condição de preenchimento de corno para n = 2 {\displaystyle n=2} . Para um conjunto simplicial geral, existe um funtor τ {\displaystyle \tau } de sSet para Cat, o adjunto à esquerda do funtor nervo, e para uma quase-categoria C {\displaystyle C} , temos τ ( C ) = h C {\displaystyle \tau (C)=hC} .

Um nervo comum de uma categoria perde morfismos superiores (por exemplo, uma transformação natural entre funtores, que é um 2-morfismo ou uma homotopia entre caminhos). O nervo homotopicamente coerente N h c ( C ) {\displaystyle N^{hc}(C)} de uma categoria enriquecida simplicialmente C {\displaystyle C} permite capturar tais morfismos superiores. Primeiro, definimos C [ n ] {\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]} como uma versão "espessada" da categoria [ n ] = { 0 , 1 , ⋯ , n } {\displaystyle [n]=\{0,1,\cdots ,n\}} ( [ n ] {\displaystyle [n]} é um conjunto parcialmente ordenado, então pode ser visto como uma categoria). Por definição, ele tem o mesmo conjunto de objetos que [ n ] {\displaystyle [n]} , mas o conjunto-simplicial-hom de i {\displaystyle i} a j {\displaystyle j} é o nervo de P i , j {\displaystyle P_{i,j}} , onde P i , j {\displaystyle P_{i,j}} é o conjunto de todos os subconjuntos de [ i , j ] = { k ∣ i ≤ k ≤ j } {\displaystyle [i,j]=\{k\mid i\leq k\leq j\}} contendo i , j {\displaystyle i,j} e é parcialmente ordenado por inclusão. Ou seja, em C [ n ] {\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]} , um morfismo se parece com i → k 1 → ⋯ → j {\displaystyle i\to k_{1}\to \cdots \to j} ou nenhum se i > j {\displaystyle i>j} . (Formalmente, C [ n ] {\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]} é uma substituição cofibrante de [ n ] {\displaystyle [n]} .)

Se X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} são ∞-categorias, então o conjunto simplicial Hom _ ( X , Y ) {\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,Y)} , o Hom interno em sSet, também é uma ∞-categoria (mais geralmente, é uma ∞-categoria se X {\displaystyle X} for apenas um conjunto simplicial e Y {\displaystyle Y} for uma ∞-categoria). Se x , y {\displaystyle x,y} são objetos em uma ∞-categoria C {\displaystyle C} , então Map C ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(x,y)} é um complexo de Kan, mas ( x , y ) ↦ Map C ⁡ ( x , y ) {\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y)} a priori não é um funtor. Um funtor que se restringe a ele pode ser construído da seguinte forma. Seja S {\displaystyle S} um conjunto simplicial e S ′ = C [ S ] {\displaystyle S'={\mathfrak {C}}[S]} a categoria enriquecida em sSet gerada por ele. Uma vez que Hom S ′ {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S'}} é um funtor, ( x , y ) ↦ Sing ⁡ | Hom C ⁡ ( x , y ) | {\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Sing} |\operatorname {Hom} _{C}(x,y)|} fornece um funtor

Dado um funtor F : C → D {\displaystyle F:C\to D} entre ∞-categorias, diz-se que F {\displaystyle F} é uma equivalência (no sentido de Joyal) se for invertível em ∞-Cat, a ∞-categoria das ∞-categorias (pequenas). Como na teoria das categorias comuns, (com a presença do axioma da escolha), F {\displaystyle F} é equivalência se e somente se for:

Assim como na teoria das categorias comuns, pode-se considerar um pré-feixe em uma ∞-categoria C {\displaystyle C} . Do ponto de vista da teoria das categorias superiores, tal pré-feixe não deve assumir valores em conjuntos, mas assumir valores em espaços (por exemplo, para uma formulação correta do lema de Yoneda). A hipótese da homotopia afirma que pode-se tomar um ∞-grupoide, concretamente um complexo de Kan, como um espaço. Dado isso, consideramos a categoria de "∞-pré-feixes" em C {\displaystyle C} como C ^ = Hom _ ( C o p , Kan ) {\displaystyle {\widehat {C}}={\underline {\operatorname {Hom} }}(C^{op},{\textbf {Kan}})} , onde Kan {\displaystyle {\textbf {Kan}}} é a ∞-categoria dos complexos de Kan. Um pré-feixe com valores em categorias é comumente chamado de pré-pilha (prestack). Assim, pode-se pensar em C ^ {\displaystyle {\widehat {C}}} como consistindo em ∞-pré-pilhas. (Com uma escolha de uma estrutura de funtor no Hom), obtém-se então o mergulho de ∞-Yoneda como no caso das categorias comuns:

Existem pelo menos duas abordagens equivalentes para adjunções. No livro de Cisinski, uma adjunção é definida exatamente como na teoria das categorias comuns. A saber, dois funtores F : C → D , G : D → C {\displaystyle F:C\to D,\,G:D\to C} são ditos formarem um par adjunto se existir um 2-morfismo c : Hom ⁡ ( F , id ) → Hom ⁡ ( id , G ) {\displaystyle c:\operatorname {Hom} (F,\operatorname {id} )\to \operatorname {Hom} (\operatorname {id} ,G)} tal que a restrição a cada par de objetos x {\displaystyle x} em C {\displaystyle C} , y {\displaystyle y} em D {\displaystyle D} , seja invertível em Kan {\displaystyle {\textbf {Kan}}} (lembrando que os espaços de mapeamento são complexos de Kan). Em seu livro Higher Topos Theory, Lurie define uma adjunção como sendo um mapa q : M → Δ 1 {\displaystyle q:M\to \Delta ^{1}} que é, ao mesmo tempo, uma fibração cartesiana e cocartesiana. Uma vez que q {\displaystyle q} é uma fibração cartesiana, pela construção de Grothendieck (mais precisamente, por retificação - straightening), obtém-se um funtor

Seja ω {\displaystyle \omega } um objeto em uma ∞-categoria C {\displaystyle C} . Então as seguintes afirmações são equivalentes: Diz-se então que ω {\displaystyle \omega } é final se qualquer uma das condições equivalentes acima for satisfeita. Os objetos finais formam uma subcategoria plena, um ∞-grupoide, que é vazio ou contrátil. Por exemplo, um pré-feixe F : C o p → Kan {\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Kan}}} é representável se e somente se a ∞-categoria de elementos para F {\displaystyle F} tiver um objeto final (pois a representabilidade equivale a dizer que a ∞-categoria de elementos é equivalente a uma categoria vírgula sobre C {\displaystyle C} ). Mais genericamente, um mapa entre conjuntos simpliciais é chamado de final se pertencer à menor classe c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} de mapas que satisfaz o seguinte: Então um objeto ω {\displaystyle \omega } é final se e somente se o mapa ω : Δ 0 → C {\displaystyle \omega :\Delta ^{0}\to C} for um mapa final. Além disso, um mapa f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} é chamado de cofinal se f : X o p → Y o p {\displaystyle f:X^{op}\to Y^{op}} for final.