Lógica proposicional

Embora seja possível construir um cálculo abstrato formal que não tem uso prático imediato e praticamente nenhuma aplicação óbvia, o nome cálculo indica que esta espécie de sistema formal tem sua origem na utilidade de seus membros protópicos no cálculo prático. Em geral, qualquer cálculo matemático é criado com a intenção de representar um certo domínio de objetos formais, e tipicamente com o objetivo de facilitar as computações e inferências que precisam ser realizadas sobre esta representação. Assim, antes de se desenvolver o próprio cálculo, deve-se dar uma ideia da sua denotação pretendida, isto é, dos objetivos formais que se pretende denotar com as fórmulas do cálculo. Visto ao longo de seu desenvolvimento histórico, um cálculo formal para qualquer tópico de estudo normalmente surge através de um processo de abstração gradual, refinamento passo-a-passo, e síntese por tentativa e erro a partir de um conjunto de sistemas notacionais informais prévios, cada um dos quais tratando do mesmo domínio de objetos apenas em parte ou de um ângulo em particular.

A lógica proposicional tem como objetivo modelar o raciocínio humano, partindo de frases declarativas (proposições). Para entender melhor o que é uma proposição considere a frase “1 mais 1 é igual a 10” ou simbolicamente, “1 + 1 = 10”. Esta frase é uma proposição no sentido de que ela é uma asserção declarativa, ou seja, afirma ou nega um fato, e tem um valor de verdade, que pode ser verdadeiro ou falso. Neste caso, num sistema de numeração de base 2, a proposição anterior seria verdadeira, enquanto que no sistema decimal seria falsa. Um outro exemplo é a afirmação “hoje é um dia quente” cujo valor de verdade vai depender de vários fatores: o local sobre o qual implicitamente se está falando, os instrumentos de medidas e de comparação (quais os dados estatísticos de temperatura dessa região), e principalmente de quem está avaliando (duas pessoas, mesmo considerando as mesmas condições nos itens anteriores, podem avaliar diferentemente). Ou seja, o valor verdade de uma proposição não é um conceito absoluto, mas depende de um contexto interpretativo. Há inclusive proposições, que mesmo num contexto interpretativo claro e não ambíguo, para as quais não é possível estabelecer de forma inquestionável sua veracidade ou falsidade (pelo menos com o conhecimento atual da humanidade). Mas, em lógica, o importante não é o valor de verdade que uma proposição possa tomar num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor de verdade, e que seja possível raciocinar com estas proposições.

Seja L 1 = ( A , Ω , Z , I ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=(\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} ),} onde A , Ω , Z , I {\displaystyle \mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} } são definidos como: Entre os 3 conectivos para conjunção, disjunção e implicação (∧, ∨, e →), um pode ser tomado como primitivo e os outros dois podem ser definidos em termos deste e da negação (¬). Certamente, todos os conectivos lógicos podem ser definidos em termos de um único operador. O bicondicional (↔) pode, é claro, ser definido em termos de conjunção e implicação com a ↔ b sendo definido como (a → b) ∧ (b → a). Adotando negação e implicação como as duas operações primitivas de um cálculo proposicional é equivalente a ter o conjunto omega Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 {\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}} particionado em: Um sistema axiomático descoberto por Jan Łukasiewicz formula um cálculo proposicional na linguagem a seguir. Os axiomas em I {\displaystyle \mathrm {I} } são todos instâncias de substituição de:

Seja L 2 = L ( A , Ω , Z , I ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} ),} onde A , Ω , Z , I {\displaystyle \mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} } são definidos a seguir: No exemplo de cálculo proposicional a seguir, as regras de transformação devem ser interpretadas como as regras de inferência do chamado sistema de dedução natural. O sistema particular apresentado aqui não possui pontos iniciais, o que significa que sua interpretação para aplicações lógicas deriva seus teoremas a partir de um conjunto de axiomas vazio. Nosso cálculo proposicional possui dez regras de inferência. Essas regras nos permitem derivar outras fórmulas verdadeiras a partir de um conjunto de fórmulas assumidas como verdadeiras. As primeiras nove regras dizem simplesmente que podemos inferir certas fbfs de outras fbfs. A última regra, no entanto, usa o raciocínio hipotético no sentido de que, na premissa da regra, assumimos temporariamente uma hipótese (não demonstrada) como parte do conjunto de fórmulas inferidas a fim de descobrir se podemos inferir uma certa outra fórmula. Como as nove primeiras regras não fazem isso, são normalmente descritas como regras não hipotéticas, e a última é dita uma regra hipotética.

As propriedades cruciais desse conjunto de regras são que elas são corretas e completas. Informalmente isso quer dizer que as regras são corretas e que não é preciso acrescentar outras regras. Faremos uma abordagem mais formal disto logo abaixo. Definimos uma atribuição de verdade como uma função matemática que mapeia variáveis proposicionais para os valores verdadeiro ou falso. Informalmente estas atribuições podem ser entendidas como uma descrição de um possível estado das coisas no qual certas asserções são verdadeiras e outras não são. A semântica das fórmulas pode ser formalizada pela definição de quais são os "estados das coisas" nos quais elas são consideradas verdadeiras, que é o que é feito pela definição a seguir. Definimos quando uma atribuição v satisfaz uma certa fórmula bem formada com as seguintes regras: Com esta definição podemos formalizar agora o que quer dizer uma fórmula φ ser implicada por certo conjunto Γ {\displaystyle \Gamma } de fórmulas. Informalmente, isto é o caso se em todo estado possível das coisas no qual vale o conjunto de fórmulas Γ {\displaystyle \Gamma } vale também a fórmula φ. Isso leva para a seguinte definição formal: Nós dizemos que um conjunto Γ {\displaystyle \Gamma } de fbfs semanticamente ligadas implicam que uma certa fbf φ se todas as atribuições verdadeiras que satisfazem as fórmulas Γ {\displaystyle \Gamma } também satisfazem φ.

É possível definir outra versão do cálculo proposicional, que define a maior parte da sintaxe dos operadores lógicos em termos de axiomas e usa somente uma regra de inferência.

Lógica proposicional é praticamente o tipo mais simples de cálculo lógico em qualquer uso. (O cálculo silogístico Aristotélico, que é amplamente utilizado na lógica moderna, é sob alguns pontos de vista mais simples — mas em outros mais complexo — do que a lógica proposicional.) A lógica proposicional pode ser estendida de diversas formas. A forma mais imediata de desenvolver um cálculo lógico mais complexo é pela introdução de regras que são sensíveis aos detalhes estruturais das sentenças empregadas. Quando as "sentenças atômicas" da lógica proposicional são quebradas em termos, variáveis, predicados, e quantificadores, elas dão origem à lógica de primeira ordem, ou lógica de predicados de primeira ordem, que mantém todas as regras da lógica proposicional e adiciona algumas novas. Por exemplo, de "Todos os cachorros são mamíferos" podemos inferir "Se Totó é um cachorro então Totó é um mamífero".