Grupo de automorfismos externos

A Conjectura de Schreier afirma que Out ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)} é sempre um grupo solúvel quando G {\displaystyle G} é um grupo simples finito. Este resultado é agora sabido como verdadeiro, sendo um corolário da classificação dos grupos simples finitos, embora nenhuma demonstração mais simples seja conhecida.

O grupo de automorfismos externos é o dual do centro no seguinte sentido: a conjugação por um elemento de G {\displaystyle G} é um automorfismo, produzindo uma aplicação σ : G → Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \sigma :G\to \operatorname {Aut} (G)} . O núcleo da aplicação de conjugação é o centro, enquanto o conúcleo é o grupo de automorfismos externos (e a imagem é o grupo de automorfismos internos). Isso pode ser resumido pela sequência exata: Z ( G ) ↪ G ⟶ σ A u t ( G ) ↠ O u t ( G ) {\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)}

O grupo de automorfismos externos de um grupo age nas classes de conjugação e, de forma correspondente, na tabela de caracteres.

Para os grupos de automorfismos externos de todos os grupos simples finitos, veja a Lista de grupos simples finitos. Grupos simples esporádicos e grupos alternantes (com exceção do grupo alternante, A 6 {\displaystyle A_{6}} ; veja abaixo) têm todos grupos de automorfismos externos de ordem 1 ou 2. O grupo de automorfismos externos de um grupo de tipo Lie simples e finito é uma extensão de um grupo de "automorfismos diagonais" (cíclico, exceto para D n ( q ) {\displaystyle D_{n}(q)} , quando tem ordem 4), um grupo de "automorfismos de corpo" (sempre cíclico) e um grupo de "automorfismos de grafo" (de ordem 1 ou 2, exceto para D 4 ( q ) {\displaystyle D_{4}(q)} , quando é o grupo simétrico em 3 pontos). Nem sempre essas extensões são produtos semidiretos, como mostra o caso do grupo alternante A 6 {\displaystyle A_{6}} ; um critério preciso para que isso ocorra foi fornecido em 2003.

O grupo de automorfismos externos de um grupo simples finito em alguma família infinita de grupos simples finitos quase sempre pode ser dado por uma fórmula uniforme que funciona para todos os elementos da família. Há apenas uma exceção a isso: o grupo alternante A 6 {\displaystyle A_{6}} possui um grupo de automorfismos externos de ordem 4, em vez de 2 como acontece com os demais grupos alternantes simples (dado pela conjugação por uma permutação ímpar). Equivalentemente, o grupo simétrico S 6 {\displaystyle S_{6}} é o único grupo simétrico com um grupo de automorfismos externos não trivial. Note que, no caso de G = A 6 = PSL ⁡ ( 2 , 9 ) {\displaystyle G=A_{6}=\operatorname {PSL} (2,9)} , a sequência 1 ⟶ G ⟶ Aut ⁡ ( G ) ⟶ Out ⁡ ( G ) ⟶ 1 {\displaystyle 1\longrightarrow G\longrightarrow \operatorname {Aut} (G)\longrightarrow \operatorname {Out} (G)\longrightarrow 1} não cinde (não se desdobra em um produto semidireto). Um resultado semelhante é válido para qualquer PSL ⁡ ( 2 , q 2 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} (2,q^{2})} , com q {\displaystyle q} ímpar.

Seja G {\displaystyle G} agora um grupo redutivo conexo sobre um corpo algebricamente fechado. Então, quaisquer dois subgrupos de Borel são conjugados por um automorfismo interno, logo, para estudar automorfismos externos, basta considerar automorfismos que fixam um dado subgrupo de Borel. Associado ao subgrupo de Borel está um conjunto de raízes simples, e o automorfismo externo pode permutá-las, enquanto preserva a estrutura do Diagrama de Dynkin associado. Desta forma, pode-se identificar o grupo de automorfismos do diagrama de Dynkin de G {\displaystyle G} com um subgrupo de Out ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Out} (G)} . D 4 {\displaystyle D_{4}} possui um diagrama de Dynkin altamente simétrico, o que produz um grupo de automorfismos externos grande para o Spin ⁡ ( 8 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (8)} , especificamente Out ⁡ ( Spin ⁡ ( 8 ) ) = S 3 {\displaystyle \operatorname {Out} (\operatorname {Spin} (8))=S_{3}} ; isso é chamado de trialidade.

A interpretação anterior de automorfismos externos como simetrias de um diagrama de Dynkin segue do fato geral de que, para uma álgebra de Lie simples real ou complexa, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , o grupo de automorfismos Aut ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})} é um produto semidireto de Inn ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Inn} ({\mathfrak {g}})} e Out ⁡ ( g ) {\displaystyle \operatorname {Out} ({\mathfrak {g}})} ; ou seja, a sequência exata curta cinde. No caso simples complexo, este é um resultado clássico, enquanto que, para álgebras de Lie simples reais, esse fato foi provado apenas em 2010.

O termo em inglês para automorfismo externo (outer automorphism) presta-se a certos jogos de palavras: o termo outermorphism às vezes é usado como abreviação para automorfismo externo, e uma geometria particular na qual o grupo Out ⁡ ( F n ) {\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})} age é chamada de outer space (que em inglês também significa "espaço sideral").