Ortogonalidade
Em matemática, ortogonalidade é a generalização da noção de perpendicularidade à álgebra linear de formas bilineares. Dois elementos u e v de um espaço vetorial com forma bilinear B são ortogonais quando B(u, v) = 0. Dependendo da forma bilinear, o espaço vetorial pode conter vetores auto-ortogonais diferentes de zero. No caso de espaços funcionais, famílias de funções ortogonais são usadas para formar uma base.
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A palavra vem do grego ὀρθός (ortopedia), significando "na posição vertical", e γωνία (gonia), que significa "ângulo". A antiga orthogōnion ὀρθογώνιον grego e latim clássico orthogonium originalmente denotava um retângulo. Mais tarde, eles passaram a significar um triângulo retângulo. No século XII, a palavra latina pós-clássica orthogonalis passou a significar um ângulo reto ou algo relacionado a um ângulo reto.
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Definições
Um conjunto de vetores em um espaço interno do produto é chamado ortogonal em pares se cada par deles for ortogonal. Esse conjunto é chamado de conjunto ortogonal. Em certos casos, a palavra normal é usada para significar ortogonal, particularmente no sentido geométrico como no normal para uma superfície. Por exemplo, o eixo y é normal para a curva y = x2 na origem. No entanto, normal também pode se referir à magnitude de um vetor. Em particular, um conjunto é chamado ortonormal (ortogonal mais normal), se é um conjunto ortogonal de vectores unitários. Como resultado, o uso do termo normal para significar "ortogonal" é frequentemente evitado. A palavra "normal" também tem um significado diferente em probabilidade e estatística.
Espaços vetoriais euclidianos
No espaço euclidiano, dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero, ou seja, eles fazem um ângulo de 90° (π / 2 radianos), ou um dos vetores é zero. Portanto, a ortogonalidade dos vetores é uma extensão do conceito de vetores perpendiculares a espaços de qualquer dimensão. O complemento ortogonal de um subespaço é o espaço de todos os vetores ortogonais para cada vetor no subespaço. Em um espaço vetorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal de uma linha através da origem é o plano através da origem perpendicular a ela e vice-versa. Observe que o conceito geométrico de dois planos sendo perpendiculares não corresponde ao complemento ortogonal, pois em três dimensões um par de vetores, um de cada par de planos perpendiculares, pode se encontrar em qualquer ângulo.
Funções ortogonais
Usando o cálculo integral, é comum utilizar o que se segue para definir o produto interno de duas funções f e g em relação a um não-negativo função de ponderação W, durante um intervalo [a, b] ⟨ f , g ⟩ w = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.} Em casos simples, w(x) = 1. Dizemos que as funções f e g são ortogonais se seu produto interno (equivalentemente, o valor dessa integral) for zero: ⟨ f , g ⟩ w = 0. {\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.} A ortogonalidade de duas funções em relação a um produto interno não implica ortogonalidade em relação a outro produto interno. Escrevemos a norma com relação a este produto interno como
Exemplos
v k = ∑ i = 0 a i + k < n n / a e i {\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}} por algum número inteiro positivo de um, e para 1 ≤ k ≤ a − 1 estes vectores são ortogonais, por exemplo, (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)T (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0)T são ortogonais. ∫ − 1 1 ( 2 t + 3 ) ( 45 t 2 + 9 t − 17 ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}
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Ortogonalidade no design da linguagem de programação é a capacidade de usar vários recursos da linguagem em combinações arbitrárias com resultados consistentes. Esse uso foi introduzido por Van Wijngaarden no design do Algol 68:.mw-parser-output .flexquote{display:flex;flex-direction:column;background-color:#F1F1F1;border-left:3px solid #C7C7C7;font-size:100%;margin:1em 4em;padding:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.quote{width:100%}.mw-parser-output .flexquote>.flex>.separator{border-left:1px solid #C7C7C7;border-top:1px solid #C7C7C7;margin:.4em .8em}.mw-parser-output .flexquote>.cite{text-align:right}@media all and (max-width:600px){.mw-parser-output .flexquote>.flex{flex-direction:column}}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .flexquote{background-color:transparent}}
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Nas comunicações, os esquemas de acesso múltiplo são ortogonais quando um receptor ideal pode rejeitar completamente sinais indesejados arbitrariamente fortes do sinal desejado, usando diferentes funções básicas. Um desses esquemas é o TDMA, onde as funções da base ortogonal são pulsos retangulares não sobrepostos ("intervalos de tempo"). Outro esquema é a multiplexação ortogonal por divisão de frequência (OFDM), que se refere ao uso, por um único transmissor, de um conjunto de sinais multiplexados em frequência com o espaçamento exato mínimo de frequência necessário para torná-los ortogonais para que não interfiram entre si . Exemplos conhecidos incluem (a, g e n) versões do 802.11 Wi-Fi; WiMAX; ITU-T G.hn, DVB-T, o sistema de transmissão de TV digital terrestre usado na maior parte do mundo fora da América do Norte; e DMT (Discrete Multi Tone), a forma padrão de ADSL. No OFDM, as frequências da subportadora são escolhidas para que as subportadoras sejam ortogonais entre si, o que significa que a interferência entre os subcanais é eliminada e não são necessárias faixas de proteção entre as transportadoras. Isso simplifica muito o design do transmissor e do receptor. No FDM convencional, é necessário um filtro separado para cada subcanal.
Ao realizar análise estatística, as variáveis independentes que afetam uma variável dependente específica são consideradas ortogonais se não forem correlacionadas, uma vez que a covariância forma um produto interno. Nesse caso, os mesmos resultados são obtidos para o efeito de qualquer uma das variáveis independentes sobre a variável dependente, independentemente de se modelar os efeitos das variáveis individualmente com regressão simples ou simultaneamente com regressão múltipla. Se houver correlação, os fatores não são ortogonais e resultados diferentes são obtidos pelos dois métodos. Esse uso decorre do fato de que se centradas subtraindo o valor esperado (a média), as variáveis não correlacionadas são ortogonais no sentido geométrico discutido acima, tanto como dados observados (como vetores) e como variáveis aleatórias (como funções de densidade). Um formalismo econométrico alternativo à estrutura de máxima verossimilhança, o Método Generalizado de Momentos, baseia-se em condições de ortogonalidade. Em particular, o estimador de mínimos quadrados ordinários pode ser facilmente derivado de uma condição de ortogonalidade entre as variáveis explicativas e os resíduos do modelo.
Em taxonomia, uma classificação ortogonal é aquela em que nenhum item é membro de mais de um grupo, ou seja, as classificações são mutuamente exclusivas.
Em análise combinatória, dois quadrados latinos n×n estão a ser ditos ortogonais se a sua superposição produz todos as possíveis combinações de entrada n2.
Na química orgânica sintética, a proteção ortogonal é uma estratégia que permite a desprotecção de grupos funcionais independentemente um do outro. Em química e bioquímica, uma interação ortogonal ocorre quando existem dois pares de substâncias e cada substância pode interagir com seu respectivo parceiro, mas não interage com nenhuma substância do outro par. Por exemplo, o DNA tem dois pares ortogonais: citosina e guanina formam um par de bases, e adenina e timina formam outro par de bases, mas outras combinações de pares de bases são fortemente desfavorecidas. Como exemplo químico, a tetrazina reage com o transcicloocteno e a azida reage com o ciclooctino sem nenhuma reação cruzada, portanto essas são reações mutuamente ortogonais e, portanto, podem ser realizadas simultaneamente e seletivamente. A química bio-ortogonal refere-se a reações químicas que ocorrem dentro de sistemas vivos sem reagir com componentes celulares naturalmente presentes. Na química supramolecular, a noção de ortogonalidade refere-se à possibilidade de duas ou mais interações supramoleculares, geralmente não covalentes, serem compatíveis; forma reversível, sem interferência do outro.
No campo da confiabilidade do sistema, a redundância ortogonal é aquela forma de redundância em que a forma do dispositivo ou método de backup é completamente diferente da tendência a erro no dispositivo ou método. O modo de falha de um dispositivo ou método de backup ortogonalmente redundante não cruza com e é completamente diferente do modo de falha do dispositivo ou método que precisa de redundância para proteger o sistema total contra falhas catastróficas.
Na neurociência, um mapa sensorial no cérebro com codificação de estímulos sobrepostos (por exemplo, localização e qualidade) é chamado de mapa ortogonal.
