Pentágono
Na geometria, um pentágono é qualquer polígono com cinco lados. A soma dos ângulos internos em um polígono pentagonal é 540°.
Um pentágono regular tem símbolo de Schläfli {5} e ângulos internos de 108°. Um pentágono pentágono regular tem cinco linhas de simetria reflexiva e simetria rotacional de ordem 5 (através de 72°, 144°, 216° e 288°). As diagonais de um pentágono regular convexo estão na razão áurea em relação aos seus lados. Dado o comprimento do seu lado t , {\displaystyle t,} sua altura H {\displaystyle H} (distância de um lado ao vértice oposto), largura W {\displaystyle W} (distância entre dois pontos mais distantes, que é igual ao comprimento da diagonal D {\displaystyle D} ) e circunraio R {\displaystyle R} são dados por: O pentágono regular pode ser construído com régua e compasso, visto que 5 é um primo de Fermat. Diversos métodos são conhecidos para a construção de um pentágono regular. Alguns são discutidos a seguir. One method to construct a regular pentagon in a given circle is described by Richmond e discutido mais detalhadamente em Polyhedra de Cromwell.
Área de um pentágono regular
A área de um pentágono regular com comprimento lateral t {\displaystyle t} é dada por Se o circunraio R {\displaystyle R} de um pentágono regular for dado, seu comprimento de aresta t {\displaystyle t} será encontrado pela expressão Como a área do círculo circunscrito é π R 2 , {\displaystyle \pi R^{2},} o pentágono regular preenche aproximadamente 0,7568 de seu círculo circunscrito. A área do pentágono regular A pode ser calculada em função do lato t Sabendo-se que o proporção áurea φ {\displaystyle \varphi } é equivalente a 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} , a área A pode ser expresso como
Derivação da fórmula da área
onde P é o perímetro do polígono e r é o apótema). Substituindo os valores do pentágono regular por P e r, obtém-se a fórmula
Raio da circunferência inscrita
Semelhante a todo polígono convexo regular, o pentágono convexo regular tem um círculo inscrito. A apótema, que é o raio r do círculo inscrito, de um pentágono regular está relacionado ao comprimento do lado t por Outra forma de calcular o raio r da circunferência inscrita do pentágono é Sabendo-se que o proporção áurea φ {\displaystyle \varphi } é equivalente a 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} , o raio r pode ser expresso como
Raio do círculo circunscrito
Para calcular o raio R da circunferência inscrita do pentágono é Utilizando-se a proporção áurea φ {\displaystyle \varphi } na fórmula acima, o raio R é equivalente a
Cordas do círculo circunscrito aos vértices
Como todo polígono convexo regular, o pentágono convexo regular possui um círculo circunscrito. Para um pentágono regular com vértices sucessivos A, B, C, D, E, se P for qualquer ponto no círculo circunscrito entre os pontos B e C, então PA + PD = PB + PC + PE.
Ponto no plano
Para um ponto arbitrário no plano de um pentágono regular com raio circunscrito R {\displaystyle R} , cujas distâncias ao centroide do pentágono regular e seus cinco vértices são L {\displaystyle L} e d i {\displaystyle d_{i}} respectivamente, temos If d i {\displaystyle d_{i}} are the distances from the vertices of a regular pentagon to any point on its circumcircle, then
Um pentágono equilátero é um polígono com cinco lados de igual comprimento. No entanto, seus cinco ângulos internos podem assumir uma série de conjuntos de valores, permitindo-lhe formar uma família de pentágonos. Em contraste, o pentágono regular apresenta similaridade única, pois é equilátero e equiangular (seus cinco ângulos são iguais).
Um pentágono cíclico é aquele em que um círculo denominado circuncírculo passa por todos os cinco vértices. O pentágono regular é um exemplo de pentágono cíclico. A área de um pentágono cíclico, regular ou não, pode ser expressa como um quarto da raiz quadrada de uma das raízes de uma equação séptica cujos coeficientes são funções dos lados do pentágono. Existem pentágonos cíclicos com lados e áreas racionais; estes são chamados de pentágonos de Robbins. Foi provado que as diagonais de um pentágono de Robbins devem ser todas racionais ou todas irracionais, e conjectura-se que todas as diagonais devem ser racionais.
Para todos os pentágonos convexos com lados a , b , c , d , e {\displaystyle a,b,c,d,e} e diagonais d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 {\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}} , a seguinte desigualdade é válida::p.75,#1854
Um pentágono regular não pode aparecer em nenhum mosaico de polígonos regulares. Primeiro, para provar que um pentágono não pode formar um ladrilho regular (em que todas as faces são congruentes, exigindo, portanto, que todos os polígonos sejam pentágonos), observe que 360° / 108° = 3.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄3 (onde 108° é o ângulo interno), que não é um número inteiro; portanto, não existe um número inteiro de pentágonos compartilhando um único vértice e sem lacunas entre eles. Mais difícil é provar que um pentágono não pode estar em nenhum mosaico de aresta a aresta formado por polígonos regulares:
