Ars Conjectandi
Ars Conjectandi é um livro de combinatória e probabilidade matemática escrito por Jakob Bernoulli e publicado em 1713, oito anos após sua morte, por seu sobrinho Nicolau I Bernoulli. O trabalho consolidou, além de diversos tópicos da combinatória, muitas ideias centras na teoria das probabilidades, como a primeira versão da lei dos grandes números, e apresentou problemas que hoje são conhecidos como "twelvefold way'. Assim, segundo a maioria dos historiadores da matemática, Ars Conjectandi compreende um marco, não só para a área de probabilidade, mas para a combinatória. Devido à sua importância, o livro apresentou um grande impacto nos matemáticos contemporâneos ou futuros, como Abraham de Moivre.
Na Europa, a área da probabilidade começou a ser desenvolvida no séxulo XVI com o trabalho de Girolamo Cardano, cujo interesse nesse ramo da matemática era justificado por seu hábito de apostar. Cardano formulou o que é atualmente considerada a clássica definição de probabilidade: se um evento tem um total de a resultados possíveis e seleciona-se qualquer b desses resultados tal que b ≤ a, a probabilidade de b ocorrer é de b/a. Contudo, sua influência real nos trabalhos de matemática não foi grande, uma vez que apenas escreveu um pequeno tomo sobre o conteúdo chamado Liber de ludo aleae ("Livro de Jogos de Probabilidades"), que foi publicado postumamente em 1663. Historiadores geralmente citam o ano de 1654 como a data em que se iniciou o desenvolvimento da probabilidade moderna; ano em que dois matemáticos conhecidos, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, começaram a discutir acerca do assunto. A discussão se deu porque um apostador de Paris, chamado Antoine Gombaud, enviou a Pascal e outros matemáticos diversas perguntas acerca da aplicabilidade prática de algumas teorias. Em particular, ele levantou o problema dos pontos, referente a um jogo teórico de dois jogadores que apresentam chances iguais de ganhar a cada rodada, mas o prêmio teria de ser dividido aos dois jogadores devido a circunstâncias externas que interrompem o jogo. O problema, que havia sido levantado, por exemplo, por Luca Pacioli em 1494 com o livro Summa de arithmetica, foi debatido por Pascal e Fermat e interessou outros matemáticos, como Christiaan Huygens, cujo trabalho De ratiociniis in aleae ludo ("Cálculos de Jogos de Chance") apareceu no último capítulo de Exercitationes Matematicae de Frans van Schooten em 1657. Em 1665, Pascal postumamente publicou seus resultados sobre o Triângulo de Pascal. Referindo ao triângulo como "triângulo aritmético" no trabalho Traité du triangle arithmétique, o conceito se tornou importante para a combinatória.
Referências de conteúdo e períodos de desenvolvimento
Com o despertar de todos esses pioneiros, Bernoulli produziu muitos resultados contidos em Ars Conjectandi entre 1684 e 1689 e os registrou em seu diário Meditationes. Quando começou o seu trabalho em 1684, aos 30 anos, apesar de estar intrigado por problemas de combinatória e de probabilidade, Bernoulli ainda não tinha lido nem o trabalho de Pascal sobre o "triângulo aritmético", nem sobre o trabalho de Witt acerca das aplicações da teoria das probabilidades. Bernoulli pediu uma cópia desses trabalhos para seu conhecido Gottfried Leibniz, que falhou em obter uma cópia do trabalho de Witt, mas pôde fornecer a obra de Pascal e Huygens. Dessa forma, Bernoulli construiu Ars Conjectandi sobre fundamentos de Pascal e Huygens. Além desses, Bernoulli certamente detinha ou tinha os conhecimentos do conteúdo a partir de fontes secundárias dos trabalhos La Logique ou l’Art de Penser e Bills of Mortality, uma vez que ele faz referências explícitas às obras.
Outras publicações de Bernoulli sobre probabilidade
Antes da publicação de Ars Conjectandi, Bernoulli produziu diversos outros tratados relacionados com a probabilidade:
Escolha do título
Além disso, o título Ars Conjectandi foi escolhido, pois referenciaria o conceito de ars inveniendi, destacado em Mathesis universalis por Leibniz, da escolástica, que providenciaria uma ligação simbólica ao pragmatismo que desejava, além de se tornar uma extensão de Ars Cogitandi. Para Bernoulli, a "arte da conjectura" é definida no Capítulo II da Parte IV de sua obra Ars Conjectandi: A arte de mensurar, o mais preciso possível, a probabilidades das coisas, com o objetivo de ser sempre possível escolher ou seguir nossos próprios julgamentos e ações, qual possibilidade foi determinada como a melhor, mais satisfatória, mais segura ou mais aventureira.
Publicação post mortem
Entre 1703 e 1705, Leibniz trocou correspondências com Jakob após tomar ciência de suas descobertas na área de probabilidade através do irmão de Jakob, Johann Bernoulli. Dessa forma, Leibniz ofereceu críticas construtivas sobre a lei dos grandes números de Bernoulli. Apesar que a maior parte do conteúdo apresentado em Ars Conjectandi estivesse presente já em 1960, Bernoulli continuou trabalhando na obra. Contudo, o desenvolvimento do livro foi interrompido com a morte de Bernoulli em 1705. Dessa forma, o livro está essencialmente incompleto se comparado à visão original do autor. Jakob, porém, tinha uma desavença com seu irmão mais novo Johann — considerada a pessoa mais competente a levar adiante o projeto de Jakob —, o que impediu Johann de ter acesso ao manuscrito. Os próprios filhos de Jakob não eram matemáticos e não poderiam editar e publicar o manuscrito, além disso, sua família, compreendendo a importância da obra, tinham receio de alguém roubar o trabalho de Jakob. Apenas o sobrinho de Jacob, Nicolaus, conseguiu publicar o manuscrito em 1713, 7 anos após a morte do autor.
O trabalho de Bernoulli, originalmente publicado em latim, é dividido em quatro partes. A obra aborda sobre a teoria das permutações e da combinatória, as fundações modernas da combinatória e conjuntos de problemas conhecidos como "twelvefold way". Ars Conjectandi também discute sobre sua motivação e aplicação de uma sequência de números que é mais próxima à teoria dos números e do que a probabilidade. Esses números de Bernoulli, nomeados em sua homenagem, são uma de suas maiores conquistas.
Primeira seção
A primeira parte é uma exposição densa do trabalho De ratiociniis in aleae ludo de Huygens. Nessa seção, há uma reimpressão do tratado de Huygens, publicado em 1757, com comentários de Bernoulli, que também oferece a solução de cinco problemas que Huygens levantou no final de seu trabalho. Em particular, Bernoulli desenvolveu o conceito de valor esperado de Huygens, isto é, a média de todos os possíveis resultados. Huygens tinha desenvolvido a fórmula: Nessa fórmula, E representa o valor esperado, pi são as probabilidades de cada valor, e ai são os valores possíveis. Bernoulli normaliza o valor esperado ao assumir que pi são as probabilidades de todos os possíveis resultados disjuntos dos valores, implicando, portanto, que p0 + p1 + ... + pn = 1. Outra teoria fundamental desenvolvida nessa primeira seção é que a probabilidade de alcançar pelos menos um determinado número de sucessos a partir de uma série de eventos binários, hodiernamente chamados de ensaio de Bernoulli, dado que a probabilidade de sucesso em cada evento seja a mesma. Bernoulli mostra, através de indução matemática, que dado a, o número de resultados favoráveis em cada evento, b, o número total de possibilidades de resultado em cada evento, d, o número desejado de sucessos, e e, o número de eventos, a probabilidade de pelo menos d sucessos é:
Segunda seção
A segunda parte expande sobre a combinatória enumerativa, as permutações e a numeração sistemática de objetos. Nessa seção, duas das mais importantes "twelvefold ways", as permutações e as combinações, que formariam a base do assunto, foram detalhadas embora já tivessem sido introduzidas anteriormente para fins de teoria da probabilidade. Bernoulli também ofereceu a primeira prova sem utilizar indução da expansão binominal para expoentes inteiros utilizando argumentos combinatórios. Um pouco mais distante da combinatória, a segunda seção também discute a fórmula geral para somas de potências inteiras. Os coeficientes livres dessa fórmula são chamados, portanto, de números de Bernoulli, que posteriormente influenciaram o trabalho de Abraham de Moivre e que demonstraram ter inúmeras aplicações na teoria dos números.
Terceira seção
Na terceira parte da obra, Bernoulli aplica técnicas de probabilidades da primeira seção em jogos de chance de cartas e de dados. O autor não sente a necessidade de descrever as regras e os objetivos dos jogos de cartas que ele analisa; ele apresenta a problemas de probabilidade relacionados a tais jogos e, uma vez que um método foi estabelecido, busca uma generalização. À título de exemplo, um problema envolvendo o número esperado de valetes, damas e reis — ou "cartas da corte" —, em que uma carta seria escolhida aleatoriamente de uma mão com cinco cartas de um baralho normal com 52 cartas, com 12 cartas da corte, poderia ser generalizado para um baralho com a cartas que contém b cartas da corte e uma mão com c cartas.
Quarta seção
A quarta e última seção continua a expor aplicações práticas ao discutir as aplicações para decisões individuais, judiciais e financeiras — civilibus, moralibus e oeconomicis. Nessa seção, Bernoulli difere da tendência da probabilidade de frequência, que define probabilidade no senso empírico. Como contra-argumento, ele produziu um resultado semelhante a lei dos grandes números, em que descreveu como a previsão de que os resultados da observação se aproximariam da probabilidade teórica à medida que mais tentativas fossem realizadas; na realidade, os frequentadores definiam a probabilidade em termos da primeira. Bernoulli ficou satisfeito e orgulhoso de seu resultado, referindo-se a ele como seu "teorema de ouro", e destaca que era "um problema no qual eu me comprometi por vinte anos". A versão antiga da lei dos grandes números é conhecida hoje como o "Teorema de Bernoulli", "Lei dos Grande Números de Bernoulli" ou como a "Lei Fraca dos Grandes Números", uma vez que é menos rigorosa e menos geral do que a versão moderna.
Apêndice
Após as quatro seções, quase como uma reflexão posterior, Bernoulli adiciona um apêndice a Ars Conjectandi referente ao cálculo infinitesimal, em especial, às séries infinitas. Essa parte foi uma reimpressão de cinco dissertações que publicou entre 1686 e 1704.
Reconhecimento
Ars Conjectandi é considerado um marco na área de combinatória e um trabalho fundamental na probabilidade matemática. Entre outros trabalhos, uma antologia de escrituras matemáticas publicada por Elsevier e editada pelo historiador Ivor Grattan-Guinness descreve o trabalho de Bernoulli como algo que "[ocupou] os matemáticos pelos séculos XVIII e XIX", influenciando profundamente a matemática nesses séculos. O estatístico A. W. F. Edwards destaca não somente o conteúdo inovador da obra, escrevendo que é claro a "familiaridade [de Bernoulli]] com as várias facetas" da combinatória, mas também sua boa forma "[Ars Conjectandi] é um livro bem escrito, construído de forma excelenete." Mais recentemente, o historiador da matemática William Dunham atribui à obra o título de "o próximo milestone na teoria das probabilidades [depois do trabalho de Cardano]" e de "obra-prima de Jakob Bernoulli". Esses reconhecimentos contribuíram profundamente para o que Dunham descreve como "a reputação já consolidada de Bernoulli".
Impacto e inspiração
O trabalho de Bernoulli, um dos primeiros estudos formais de probabilidade, influenciou diversos matemáticos contemporâneos e subsequentes e fomentou discussões sobre diversos frutos de suas descobertas, inclusive seu apêndice sobre cálculo foi referenciado frequentemente por matemáticos como o escocês Colin Maclaurin. Além disso, também influenciou seu sobrinho, Nicolau I Bernoulli, uma vez que, como seus estudos para aplicar a arte da conjectura em esferas práticas da vida foram interrompidos com sua morte em 1705, Nicolau retirou partes textuais de Ars Conjectandi para a sua dissertação De Usu Artis Conjectandi in Jure publicada em 1709. Nicolau finalmente editou e auxiliou na publicação de Ars Conjectandi em 1713. Depois, Nicolau também editou outros trabalhos completos de Jakob, além de reconciliar resultados e estudos escritos no diário do tio.
