Categoria derivada
Na matemática, a categoria derivada de uma categoria abeliana é uma construção da álgebra homológica introduzida para refinar e, em certo sentido, simplificar a teoria dos functores derivados definidos em . A construção prossegue com base na premissa de que os objetos de devem ser complexos de cadeias em , com dois desses complexos de cadeias sendo considerados isomorfos quando existe uma aplicação de cadeias que induz um isomorfismo no nível da homologia dos complexos de cadeias. Functores derivados podem então ser definidos para complexos de cadeias, refinando o conceito de hipercoomologia. As definições levam a uma simplificação significativa de fórmulas que, de outra forma, seriam descritas por sequências espectrais complicadas.
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Na teoria de feixes coerentes, ao levar ao limite o que poderia ser feito com a dualidade de Serre sem a suposição de um esquema não singular, tornou-se aparente a necessidade de tomar um complexo inteiro de feixes no lugar de um único feixe dualizante. De fato, a condição de anel de Cohen-Macaulay, um enfraquecimento da não-singularidade, corresponde à existência de um único feixe dualizante; e isso está longe de ser o caso geral. A partir da posição intelectual top-down, sempre assumida por Grothendieck, isso significava uma necessidade de reformulação. Com ela veio a ideia de que os functores "reais" de produto tensorial e Hom seriam aqueles existentes no nível derivado; em relação a esses, os functores Tor e Ext tornam-se mais como dispositivos computacionais. Apesar do nível de abstração, as categorias derivadas foram aceitas nas décadas seguintes, especialmente como um ambiente conveniente para a coomologia de feixes. Talvez o maior avanço tenha sido a formulação da correspondência de Riemann-Hilbert em dimensões maiores que 1 em termos derivados, por volta de 1980. A escola de Sato adotou a linguagem das categorias derivadas, e a história subsequente dos D-módulos foi a de uma teoria expressa nesses termos.
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Seja A {\displaystyle {\mathcal {A}}} uma categoria abeliana. (Exemplos incluem a categoria de módulos sobre um anel e a categoria de feixes de grupos abelianos em um espaço topológico.) A categoria derivada D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} é definida por uma propriedade universal em relação à categoria Kom ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} dos complexos de cocadeias com termos em A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . Os objetos de Kom ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} são da forma: onde cada X i {\displaystyle X^{i}} é um objeto de A {\displaystyle {\mathcal {A}}} e cada uma das composições d i + 1 ∘ d i {\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}} é zero. O i {\displaystyle i} -ésimo grupo de coomologia do complexo é H i ( X ∙ ) = ker d i / im d i − 1 {\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}} . Se ( X ∙ , d X ∙ ) {\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })} e ( Y ∙ , d Y ∙ ) {\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })} são dois objetos nesta categoria, então um morfismo f ∙ : ( X ∙ , d X ∙ ) → ( Y ∙ , d Y ∙ ) {\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })} é definido como uma família de morfismos f i : X i → Y i {\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}} tal que f i + 1 ∘ d X i = d Y i ∘ f i {\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}} . Tal morfismo induz morfismos nos grupos de coomologia H i ( f ∙ ) : H i ( X ∙ ) → H i ( Y ∙ ) {\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })} , e f ∙ {\displaystyle f^{\bullet }} é chamado de quase-isomorfismo se cada um desses morfismos for um isomorfismo em A {\displaystyle {\mathcal {A}}} .
Relação com a categoria de homotopia
Se f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} são dois morfismos X ∙ → Y ∙ {\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }} em Kom ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} , então uma homotopia de cadeias ou simplesmente homotopia h : f → g {\displaystyle h\colon f\to g} é uma coleção de morfismos h i : X i → Y i − 1 {\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}} tal que f i − g i = d Y i − 1 ∘ h i + h i + 1 ∘ d X i {\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}} para todo i {\displaystyle i} . É simples mostrar que dois morfismos homotópicos induzem morfismos idênticos nos grupos de coomologia. Dizemos que f : X ∙ → Y ∙ {\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }} é uma equivalência de homotopia de cadeias se existir g : Y ∙ → X ∙ {\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }} tal que g ∘ f {\displaystyle g\circ f} e f ∘ g {\displaystyle f\circ g} sejam homotopicamente equivalentes aos morfismos identidade em X ∙ {\displaystyle X^{\bullet }} e Y ∙ {\displaystyle Y^{\bullet }} , respectivamente. A categoria de homotopia de complexos de cocadeias K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} é a categoria com os mesmos objetos de Kom ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} , mas cujos morfismos são classes de equivalência de morfismos de complexos em relação à relação de homotopia de cadeias. Há um functor natural Kom ( A ) → K ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})} que é a identidade nos objetos e que envia cada morfismo à sua classe de equivalência de homotopia de cadeias. Como toda equivalência de homotopia de cadeias é um quase-isomorfismo, Q {\displaystyle Q} fatora através deste functor. Consequentemente, D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} pode ser vista igualmente bem como uma localização da categoria de homotopia.
Construindo a categoria derivada
Existem várias construções possíveis para a categoria derivada. Quando A {\displaystyle {\mathcal {A}}} é uma categoria pequena, há uma construção direta da categoria derivada ao se adjuntar formalmente inversos de quase-isomorfismos. Este é um exemplo da construção geral de uma categoria por geradores e relações. Quando A {\displaystyle {\mathcal {A}}} é uma categoria grande, esta construção não funciona por razões da teoria dos conjuntos. Esta construção forma morfismos como classes de equivalência de caminhos. Se A {\displaystyle {\mathcal {A}}} possui uma classe própria de objetos, todos os quais são isomorfos, então existe uma classe própria de caminhos entre quaisquer dois desses objetos. A construção por geradores e relações garante, portanto, apenas que os morfismos entre dois objetos formam uma classe própria. No entanto, geralmente exige-se que os morfismos entre dois objetos em uma categoria sejam conjuntos, e assim essa construção falha em produzir uma categoria propriamente dita.
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Como notado antes, na categoria derivada os conjuntos hom são expressos através de tetos, ou vales X → Y ′ ← Y {\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y} , onde Y → Y ′ {\displaystyle Y\to Y'} é um quase-isomorfismo. Para ter uma ideia melhor de como são os elementos, considere uma sequência exata Podemos usar isso para construir um morfismo ϕ : E 0 → E n [ + ( n − 1 ) ] {\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]} truncando o complexo acima, transladando-o e usando os óbvios morfismos acima. Em particular, temos o cenário onde o complexo inferior tem E 0 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}} concentrado no grau 0 {\displaystyle 0} , a única seta não trivial para cima é o morfismo de igualdade, e a única seta não trivial para baixo é ϕ 1 , 0 : E 1 → E 0 {\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}} . Este diagrama de complexos define um morfismo
Para certos propósitos (veja abaixo), usa-se complexos limitados inferiormente ( X n = 0 {\displaystyle X^{n}=0} para n ≪ 0 {\displaystyle n\ll 0} ), limitados superiormente ( X n = 0 {\displaystyle X^{n}=0} para n ≫ 0 {\displaystyle n\gg 0} ) ou limitados ( X n = 0 {\displaystyle X^{n}=0} para | n | ≫ 0 {\displaystyle |n|\gg 0} ) em vez dos não limitados. As categorias derivadas correspondentes são geralmente denotadas D + ( A ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})} , D − ( A ) {\displaystyle D^{-}({\mathcal {A}})} e D b ( A ) {\displaystyle D^{b}({\mathcal {A}})} , respectivamente. Se adotarmos o ponto de vista clássico sobre categorias, de que há um conjunto de morfismos de um objeto a outro (não apenas uma classe), então é necessário dar um argumento adicional para provar isso. Se, por exemplo, a categoria abeliana A {\displaystyle {\mathcal {A}}} for pequena, ou seja, possuir apenas um conjunto de objetos, então essa questão não será um problema. Além disso, se A {\displaystyle {\mathcal {A}}} for uma categoria abeliana de Grothendieck, então a categoria derivada D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} é equivalente a uma subcategoria plena da categoria de homotopia K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} , e portanto possui apenas um conjunto de morfismos de um objeto a outro. As categorias abelianas de Grothendieck incluem a categoria de módulos sobre um anel, a categoria de feixes de grupos abelianos em um espaço topológico e muitos outros exemplos.
Pode-se facilmente mostrar que uma equivalência de homotopia é um quase-isomorfismo, então a segunda etapa na construção acima pode ser omitida. A definição é normalmente dada desta forma porque revela a existência de um functor canônico Em situações concretas, é muito difícil ou impossível manipular morfismos na categoria derivada diretamente. Portanto, procura-se uma categoria mais gerenciável que seja equivalente à categoria derivada. Classicamente, há duas abordagens (duais) para isso: resoluções projetivas e injetivas. Em ambos os casos, a restrição do functor de localização canônica acima a uma subcategoria apropriada será uma equivalência de categorias. A seguir, descreveremos o papel das resoluções injetivas no contexto da categoria derivada, que é a base para a definição dos functores derivados à direita, os quais, por sua vez, têm aplicações importantes na coomologia de feixes sobre espaços topológicos ou teorias de coomologia mais avançadas, como a coomologia étale ou a coomologia de grupos.
A categoria derivada é uma estrutura natural para definir e estudar functores derivados. No que segue, seja F : A → B {\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} um functor de categorias abelianas. Há dois conceitos duais: Abaixo descreveremos os functores derivados à direita. Então, suponha que F {\displaystyle F} seja exato à esquerda. Exemplos típicos são F : A → A b {\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to \mathbf {Ab} } dado por X ↦ Hom ( X , A ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (X,A)} ou X ↦ Hom ( A , X ) {\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (A,X)} para algum objeto fixo A {\displaystyle A} , ou o functor de seções globais sobre feixes ou o functor imagem direta. Seus functores derivados à direita são Ext n ( − , A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(-,A)} , Ext n ( A , − ) {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(A,-)} , H n ( X , F ) {\displaystyle H^{n}(X,F)} ou R n f ∗ ( F ) {\displaystyle R^{n}f_{*}(F)} , respectivamente.
Pode acontecer que duas categorias abelianas A {\displaystyle {\mathcal {A}}} e B {\displaystyle {\mathcal {B}}} não sejam equivalentes, mas suas categorias derivadas D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} e D ( B ) {\displaystyle D({\mathcal {B}})} sejam. Freqüentemente, esta é uma relação interessante entre A {\displaystyle {\mathcal {A}}} e B {\displaystyle {\mathcal {B}}} . Tais equivalências estão relacionadas à teoria das t-estruturas em categorias trianguladas. Aqui estão alguns exemplos.
