Número p-ádico
Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.
Assim como R {\displaystyle \mathbb {R} \,} pode ser gerado a partir de Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,} a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, R {\displaystyle \mathbb {R} \,} é Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,} acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy,[Nota 1] o conjunto dos números p-ádicos também é Q {\displaystyle \mathbb {Q} \,} ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente. Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo: Como consequência, a sucessão das potências de p, xn = pn, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.
Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como: com a-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale: Toda sequência de Cauchy em Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\,} converge.
