Categorificação

Uma forma de categorificação pega uma estrutura descrita em termos de conjuntos e interpreta os conjuntos como classes de isomorfismos de objetos em uma categoria. Por exemplo, o conjunto dos números naturais pode ser visto como o conjunto de cardinalidades de conjuntos finitos (e quaisquer dois conjuntos com a mesma cardinalidade são isomorfos). Nesse caso, as operações no conjunto dos números naturais, como a adição e a multiplicação, podem ser vistas como carregando informações sobre os coprodutos e produtos da categoria de conjuntos finitos. De forma menos abstrata, a ideia aqui é que a manipulação de conjuntos de objetos reais e a tomada de coprodutos (combinando dois conjuntos em uma união) ou produtos (construindo matrizes de coisas para acompanhar um grande número delas) vieram primeiro. Mais tarde, a estrutura concreta dos conjuntos foi abstraída – considerada "apenas até o isomorfismo", para produzir a teoria abstrata da aritmética. Esta é uma "descategorificação" – a categorificação inverte esse passo.

Para uma categoria B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , seja K ( B ) {\displaystyle K({\mathcal {B}})} o grupo de Grothendieck de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} . Seja A {\displaystyle A} um anel que é livre como um grupo abeliano, e seja a = { a i } i ∈ I {\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}} uma base de A {\displaystyle A} de modo que a multiplicação seja positiva em a {\displaystyle \mathbf {a} } , isto é, Seja B {\displaystyle B} um módulo- A {\displaystyle A} . Então uma categorificação abeliana (fraca) de ( A , a , B ) {\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)} consiste de uma categoria abeliana B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , um isomorfismo ϕ : K ( B ) → B {\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B} , e endofuntores exatos F i : B → B {\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}} tais que