Divisão
Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.
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As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.
Nos números inteiros
Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto. Se a e b são dois números inteiros positivos (com b ≥ a {\displaystyle b\geq a} ), o quociente da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que b q ≤ a {\displaystyle bq\leq a} . O resto da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que r = a − b q . {\displaystyle r=a-bq.} A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.
Nos números racionais, reais e em outros corpos
Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso. Por um exemplo, para dividirmos um número racional q 1 = a b {\displaystyle q_{1}={\frac {a}{b}}} por q 2 = c d {\displaystyle q_{2}={\frac {c}{d}}} (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma q 1 q 2 = q 1 q 2 − 1 = a b d c = a d b c {\displaystyle {\frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1}\ q_{2}^{-1}={\frac {a}{b}}\ {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}} Em Z 13 {\displaystyle \mathbb {Z} _{13}} (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:
Divisão de polinômios
Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto. Veja divisão polinomial.
Em estruturas mais gerais
A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.
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Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma: Seja o número impar a > 1 {\textstyle a>1} e o seu consecutivo a + 1 {\textstyle a+1} . Seja a divisão a / ( a + 1 ) = s {\displaystyle a/(a+1)=s} . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir : a - O quociente s {\displaystyle s} é menor do que 1 {\displaystyle 1} e tende para 1 {\displaystyle 1} com o aumento de a {\displaystyle a} , então lim a → ∞ → s = 1 {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s=1} b - Na imensa maioria das proposições o quociente s {\displaystyle s} apresenta infinitos algarismos após a virgula decimal. Seja a divisão ( a + 1 ) / a = s ′ {\displaystyle (a+1)/a=s'} . Esta divisão apresenta as duas peculiaridade a seguir: a - O quociente s ′ {\displaystyle s'} é maior do que 1 {\displaystyle 1} e tende para 1 {\displaystyle 1} com o aumento de a {\displaystyle a} , então lim a → ∞ → s ′ = 1 {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\rightarrow s'=1}
Divisão entre números consecutivos
Na divisão entre dois números consecutivos temos dois casos a considerar: Caso 1 - Caso em que o número maior tem paridade par Caso 2 - Caso em que o número maior tem paridade impar sejam dois números consecutivos A , B {\displaystyle A,B} com A > B {\displaystyle A>B} e de paridade par. A divisão A / B = 1 + 1 / B {\displaystyle A/B=1+1/B} , e a outra divisão B / A = 1 − 1 / A {\displaystyle B/A=1-1/A} . Na imensa maioria dos casos cada uma dessas expressões tem como resultados números com infinitos algarismos após o ponto decimal. Em absolutamente todos os casos ao menos uma das duas expressões acima apresenta infinitos algarismos após o ponto decimal.
