Teoria do caos

A ideia é que uma pequena variação nas condições em determinado ponto de um sistema dinâmico pode ter consequências de proporções inimagináveis. A exemplo, o bater de asas de uma borboleta no Brasil pode provocar um furacão no Texas. Embora esse seja um exemplo superlativo, considerando-se a incapacidade de prever os eventos consequenciais de um inicial num espaço com múltiplas variáveis que interagem entre si, em última análise, não é impossível o bater de asas da borboleta causar um furacão, e é nisso que se baseia o raciocínio empírico inicial para a teoria do caos.

Galileu Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à simplicidade da obtenção de resultados. Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas. Com Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em relação ao Sol. Portanto, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição. Porém, ao se acrescentarem mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não lineares.

Imagem: Alexandre Chang · BY-NC-SA · Openverse

Ao se encontrar, no estudo do sistema gravitacional, equações diferenciais não lineares, estas se tornavam impossíveis de ser resolvidas. Laplace afirmou que "...(sic) uma inteligência conhecendo todas as variáveis universais em determinado momento, poderia compor, numa só fórmula matemática, a unificação de todos os movimentos do Universo. Consequentemente, deixariam de existir, para esta inteligência, o passado e o futuro, pois, aos seus olhos, todos os eventos seriam resultantes do momento presente." Perseguindo a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da teoria das probabilidades, trabalhou nas equações diferenciais, criou a transformada de Laplace além de estudar a equação de Laplace.

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Henri Poincaré, em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, tornavam-se complexas e irregulares. Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aparentemente aleatórios.

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Um conjunto de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema. Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não lineares, que divergem entre si na sua relação de causa e efeito. Na primeira, a resposta a um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda, a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que servem de objeto à teoria do caos, sendo mais conhecidos como sistemas dinâmicos não lineares. Esta teoria estuda o comportamento de sistemas cujo estado futuro é difícil de prever. Uma das ideias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada, lisa e cognitiva. Sendo que o futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema serão caóticos.

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O efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito Borboleta, ou seja, uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados. Assim, havendo uma distância, mesmo que ínfima, entre dois pontos iniciais diferentes, depois de um tempo os pontos estariam completamente separados e irreconhecíveis. Normalmente, este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no intervalo de tempo de semanas. É por esse motivo que as previsões meteorológicas possuem erros. Para evitar tais erros, precisaríamos de medidas exatas de muitas variáveis (pressão, temperatura...) em praticamente todos os pontos do globo terrestre, o que, atualmente, é impraticável. Além da falta de medidas, as medidas tomadas possuem, ainda, um certo grau de erro, gerando os problemas que conhecemos para as previsões.

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Edward Lorenz, continuando em sua pesquisa dos sistemas dinâmicos, elegeu três equações que acabaram por ficar conhecidas como Equações de Lorenz para representar graficamente o comportamento dinâmico através de computadores. Lorenz continuou observando os efeitos caóticos, notou que variações muito pequenas aleatórias poderiam gerar um efeito dominó que elevava o grau de incerteza em eventos futuros, realimentando os graus de aleatoriedade. Desenvolveu teorias que demonstravam que a partir de variações mínimas havia acelerações nas precipitações de dados em determinadas direções que mudavam completamente o resultado de uma determinada experiência. Em função de suas constatações o meteorologista chegou à conclusão que as previsões de fenômenos climáticos só poderiam adquirir certo grau de precisão utilizando equações matemáticas que levassem em conta o alto grau de incerteza nos eventos.

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Um atrator é um ponto (ou o conjunto dos pontos atratores, dependendo o contexto) para o qual toda órbita que passar por um ponto suficientemente próximo converge para o ponto, isto é, fica indefinidamente próximo bastando para isso esperar um tempo suficiente. No caso de um campo de vetores, um atrator é sempre uma singularidade: Se o atrator for o estado inicial, ele será o estado atingido para todo tempo passado e futuro. Por exemplo, uma bola rolando por uma superfície plana com atrito para. O atrator desse sistema dinâmico é o conjunto dos pontos (ou estados) em que a bola está parada.

Ao observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a algo que se chama atrator estranho. A convergência não será simples como nos casos prescritos para o caso bidimensional pelo teorema de Poincaré-Bendixson. A órbita de um ponto genérico se aproximará dos dois pontos (que são singularidades do campo) alternadamente. E quanto mais avançamos na órbita, certos padrões semelhantes a conjuntos de Cantor aparecem nas interseções.

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Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório. Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico. Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanças num intervalo de tempo maior.