Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis Lagrange, também registrado como Giuseppe Luigi Lagrange ou Lagrangia, foi um matemático, físico e astrônomo italiano e naturalizado francês. Ele fez contribuições significativas para as áreas de análise, teoria dos números e tanto para a mecânica clássica quanto para a mecânica celeste.
Lagrange foi um dos criadores do cálculo de variações, derivando as equações de Euler-Lagrange para extremos de funcionais. Ele estendeu o método para incluir possíveis restrições, chegando ao método dos multiplicadores de Lagrange. Lagrange inventou o método de resolução de equações diferenciais conhecido como variação dos parâmetros, aplicou o cálculo diferencial à teoria das probabilidades e trabalhou em soluções para equações algébricas. Ele provou que todo número natural é a soma de quatro quadrados. Seu tratado Théorie des fonctions analytiques estabeleceu algumas das bases da teoria dos grupos, antecipando Galois. No cálculo, Lagrange desenvolveu uma abordagem inovadora para interpolação e o teorema de Taylor. Ele estudou o problema dos três corpos para a Terra, Sol e Lua (1764) e o movimento dos satélites de Júpiter (1766), e em 1772 encontrou as soluções de caso especial para este problema que resultam no que são agora conhecidos como pontos de Lagrange. Lagrange é mais conhecido por transformar a mecânica newtoniana em um ramo da análise, a mecânica lagrangiana. Ele apresentou os "princípios" mecânicos como resultados simples do cálculo variacional.
Primeiros anos
Primogênito de onze filhos como Giuseppe Lodovico Lagrangia, Lagrange era descendente de italianos e franceses. Seu bisavô paterno foi um capitão de cavalaria do Reino da França, cuja família era originária da região francesa de Tours. Após servir sob Luís XIV, ele entrou ao serviço de Carlos Emanuel II, Duque de Saboia, e casou-se com uma Conti da nobre família romana. O pai de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, era doutor em Direito pela Universidade de Turim, enquanto sua mãe era filha única de um médico rico de Cambiano, no campo de Turim. Ele foi criado como católico romano (mas mais tarde tornou-se agnóstico). Seu pai, que estava encarregado do cofre militar do Rei e era Tesoureiro do Escritório de Obras Públicas e Fortificações em Turim, deveria manter uma boa posição social e riqueza, mas antes que seu filho crescesse, ele perdera a maior parte de sua propriedade em especulações. Uma carreira como advogado foi planejada para Lagrange por seu pai, e certamente Lagrange parece ter aceitado isso de bom grado. Ele estudou na Universidade de Turim e sua matéria favorita era o latim clássico. No início, não tinha grande entusiasmo pela matemática, achando a geometria grega bastante enfadonha.
Berlim
Já em 1756, Euler e Maupertuis, vendo o talento matemático de Lagrange, tentaram persuadi-lo a vir para Berlim, mas ele recusou timidamente a oferta. Em 1765, d'Alembert intercedeu em nome de Lagrange junto a Frederico da Prússia e, por carta, pediu-lhe que deixasse Turim por uma posição consideravelmente mais prestigiosa em Berlim. Ele novamente recusou a oferta, respondendo que:361 Em 1766, depois que Euler deixou Berlim para São Petersburgo, o próprio Frederico escreveu a Lagrange expressando o desejo de "o maior rei da Europa" ter "o maior matemático da Europa" residente em sua corte. Lagrange foi finalmente convencido. Passou os vinte anos seguintes na Prússia, onde produziu uma longa série de artigos publicados nas transações de Berlim e Turim e compôs sua obra monumental, a Mécanique analytique. Em 1767, casou-se com sua prima Vittoria Conti.
Paris
Em 1786, após a morte de Frederico, Lagrange recebeu convites semelhantes de estados como Espanha e Nápoles, e aceitou a oferta de Luís XVI para se mudar para Paris. Na França, foi recebido com todas as marcas de distinção e apartamentos especiais no Louvre foram preparados para sua recepção, e tornou-se membro da Academia Francesa de Ciências, que mais tarde se tornou parte do Institut de France (1795). No início de sua residência em Paris, foi acometido por um ataque de melancolia, e até mesmo a cópia impressa de sua Mécanique, na qual havia trabalhado por um quarto de século, permaneceu por mais de dois anos fechada em sua mesa. A curiosidade sobre os resultados da Revolução Francesa primeiro o tirou de sua letargia, uma curiosidade que logo se transformou em alarme à medida que a revolução se desenvolvia.
Lagrange foi extremamente ativo cientificamente durante os vinte anos que passou em Berlim. Não apenas produziu sua Mécanique analytique, mas contribuiu com cerca de cem a duzentos artigos para a Academia de Turim, a Academia de Berlim e a Academia Francesa. Alguns deles são verdadeiros tratados, e todos, sem exceção, são de alto nível de excelência. Exceto por um curto período em que esteve doente, ele produziu em média cerca de um artigo por mês. Destes, observe os seguintes como os mais importantes. Primeiro, suas contribuições para o quarto e quinto volumes, 1766–1773, da Miscellanea Taurinensia; dos quais o mais importante foi o de 1771, no qual discutiu como inúmeras observações astronômicas deveriam ser combinadas para dar o resultado mais provável. E mais tarde, suas contribuições para os dois primeiros volumes, 1784–1785, das transações da Academia de Turim; para o primeiro dos quais contribuiu com um artigo sobre a pressão exercida por fluidos em movimento, e para o segundo um artigo sobre integração por séries infinitas e o tipo de problemas para os quais é adequada.
Mecânica lagrangiana
Entre 1772 e 1788, Lagrange reformulou a mecânica clássica/newtoniana para simplificar fórmulas e facilitar cálculos. Essa mecânica é chamada de mecânica lagrangiana.
Álgebra
A maioria de seus artigos durante esse período foi, no entanto, contribuída para a Academia de Ciências da Prússia. Vários deles tratam de questões de álgebra.
Teoria dos números
Vários de seus primeiros artigos também tratam de questões da teoria dos números.
Outros trabalhos matemáticos
Há também numerosos artigos sobre vários pontos da geometria analítica. Em dois deles, escritos um pouco mais tarde, em 1792 e 1793, ele reduziu as equações das quádricas (ou conicoides) às suas formas canônicas. Durante os anos de 1772 a 1785, contribuiu com uma longa série de artigos que criaram a ciência das equações diferenciais parciais. Grande parte desses resultados foi coletada na segunda edição do cálculo integral de Euler, publicada em 1794.
Astronomia
Por fim, há numerosos artigos sobre problemas em astronomia. Destes, os mais importantes são os seguintes:
Tratado fundamental
Acima e além desses vários artigos, ele compôs seu tratado fundamental, a Mécanique analytique. Neste livro, ele estabelece a lei do trabalho virtual e, a partir desse único princípio fundamental, com o auxílio do cálculo de variações, deduz toda a mecânica, tanto de sólidos quanto de fluidos. O objetivo do livro é mostrar que o assunto está implicitamente incluído em um único princípio e dar fórmulas gerais a partir das quais qualquer resultado particular pode ser obtido. O método das coordenadas generalizadas pelo qual ele obteve esse resultado é talvez o mais brilhante de sua análise. Em vez de seguir o movimento de cada parte individual de um sistema material, como D'Alembert e Euler haviam feito, ele mostrou que, se determinarmos sua configuração por um número suficiente de variáveis x, chamadas coordenadas generalizadas, cujo número é o mesmo que o dos graus de liberdade possuídos pelo sistema, então as energias cinética e potencial do sistema podem ser expressas em termos dessas variáveis, e as equações diferenciais de movimento daí deduzidas por simples diferenciação. Por exemplo, na dinâmica de um sistema rígido, ele substitui a consideração do problema particular pela equação geral, que agora é geralmente escrita na forma
Cálculo diferencial e cálculo de variações
As palestras de Lagrange sobre o cálculo diferencial na École Polytechnique formam a base de seu tratado Théorie des fonctions analytiques, publicado em 1797. Esta obra é a extensão de uma ideia contida em um artigo que ele havia enviado aos artigos de Berlim em 1772, e seu objetivo é substituir o cálculo diferencial por um grupo de teoremas baseados no desenvolvimento de funções algébricas em séries, baseando-se particularmente no princípio da generalidade da álgebra. Um método um tanto semelhante havia sido usado anteriormente por John Landen na Residual Analysis, publicada em Londres em 1758. Lagrange acreditava que poderia assim se livrar daquelas dificuldades, conectadas com o uso de quantidades infinitamente grandes e infinitamente pequenas, às quais os filósofos objetavam no tratamento usual do cálculo diferencial. O livro está dividido em três partes: destas, a primeira trata da teoria geral das funções e dá uma prova algébrica do teorema de Taylor, cuja validade é, no entanto, questionável; a segunda trata das aplicações à geometria; e a terceira das aplicações à mecânica.
Infinitesimais
Em um período posterior, Lagrange abraçou plenamente o uso de infinitesimais em vez de fundar o cálculo diferencial no estudo de formas algébricas; e no prefácio da segunda edição da Mécanique Analytique, publicada em 1811, ele justifica o emprego de infinitesimais e conclui dizendo que:
Teoria dos números
Sua Résolution des équations numériques, publicada em 1798, também foi fruto de suas palestras na École Polytechnique. Lá ele dá o método de aproximar as raízes reais de uma equação por meio de frações contínuas e enuncia vários outros teoremas. Em uma nota no final, ele mostra como o pequeno teorema de Fermat, isto é, onde p é primo e a é primo de p, pode ser aplicado para dar a solução algébrica completa de qualquer equação binomial. Ele também explica aqui como a equação cujas raízes são os quadrados das diferenças das raízes da equação original pode ser usada para fornecer informações consideráveis sobre a posição e a natureza dessas raízes.
Mecânica celeste
Uma teoria dos movimentos planetários havia sido o assunto de alguns dos mais notáveis artigos de Lagrange em Berlim. Em 1806, o assunto foi reaberto por Poisson, que, em um artigo lido perante a Academia Francesa, mostrou que as fórmulas de Lagrange levavam a certos limites para a estabilidade das órbitas. Lagrange, que estava presente, discutiu então todo o assunto novamente e, em uma carta comunicada à academia em 1808, explicou como, pela variação das constantes arbitrárias, as desigualdades periódicas e seculares de qualquer sistema de corpos que interagem mutuamente poderiam ser determinadas.
Euler propôs Lagrange para eleição na Academia de Berlim, e ele foi eleito em 2 de setembro de 1756. Foi eleito membro da Royal Society of Edinburgh em 1790, membro da Royal Society e membro estrangeiro da Real Academia Sueca de Ciências em 1806. Em 1808, Napoleão tornou Lagrange Grande Oficial da Legião de Honra e Conde do Império. Foi agraciado com a Grã-Cruz da Ordre Impérial de la Réunion em 1813, uma semana antes de sua morte em Paris, e foi sepultado no Panteão, um mausoléu dedicado aos franceses mais honrados. Lagrange recebeu o prêmio de 1764 da Academia Francesa de Ciências por sua memória sobre a libração da Lua. Em 1766, a academia propôs um problema sobre o movimento dos satélites de Júpiter, e o prêmio novamente foi concedido a Lagrange. Ele também compartilhou ou ganhou os prêmios de 1772, 1774 e 1778. Lagrange é um dos 72 cientistas franceses proeminentes que foram comemorados em placas no primeiro estágio da Torre Eiffel quando ela foi inaugurada. Rue Lagrange no 5º Arrondissement em Paris tem o seu nome. Em Turim, a rua onde a casa de seu nascimento ainda está de pé chama-se via Lagrange. A cratera lunar Lagrange e o asteroide 1006 Lagrangea também recebem seu nome.
