Jakob Bernoulli
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli, foi um dos muitos matemáticos proeminentes da família Bernoulli. Foi um dos primeiros defensores do cálculo leibniziano e apoiou Gottfried Wilhelm Leibniz durante a controvérsia do cálculo Leibniz–Newton. Ele é conhecido por suas inúmeras contribuições ao cálculo e, junto com seu irmão Johann, foi um dos fundadores do cálculo das variações. Ele também descobriu a constante matemática fundamental. No entanto, sua contribuição mais importante foi no campo da probabilidade, de onde derivou a primeira versão da lei dos grandes números em sua obra Ars Conjectandi.
Jacob Bernoulli nasceu em Basel, Suíça. Seguindo o desejo de seu pai, ele estudou teologia e entrou no ministério. Mas ao contrário dos desejos de seus pais, ele também estudou matemática e astronomia. Ele viajou por toda a Europa de 1676 a 1682, aprendendo sobre as últimas descobertas em matemática e ciências sob as principais figuras da época. Isso incluiu o trabalho de Johannes Hudde, Robert Boyle, e Robert Hooke. Durante esse tempo, ele também produziu uma teoria incorreta dos cometas. Bernoulli voltou para a Suíça e começou a ensinar mecânica na Universidade de Basel em 1683. Sua tese de doutorado Solutionem tergemini problematis foi apresentada em 1684. Ela foi publicada em 1687. Em 1684, Bernoulli casou-se com Judith Stupanus; eles tiveram dois filhos. Durante esta década, ele também iniciou uma fértil carreira de pesquisa. Suas viagens permitiram-lhe estabelecer correspondência com muitos matemáticos e cientistas importantes de sua época, que manteve ao longo de sua vida. Durante este tempo, ele estudou as novas descobertas em matemática, incluindo De ratiociniis em aleae ludo de Christiaan Huygens, La géométrie de Descartes e estudos de Frans van Schooten. Ele também estudou Isaac Barrow e John Wallis, o que o levou a se interessar pela geometria infinitesimal. Além destes, foi entre 1684 e 1689 que muitos dos resultados que viriam a compor Ars Conjectandi foi descoberto.
As primeiras contribuições importantes de Jacob Bernoulli foram um panfleto sobre paralelos de lógica e álgebra publicado em 1685, trabalho sobre probabilidade em 1685 e geometria em 1687. Seu resultado geométrico deu uma construção para dividir qualquer triângulo em quatro partes iguais com duas retas perpendiculares. Em 1689, ele publicou um importante trabalho sobre séries infinitas e publicou sua lei dos grandes números na teoria da probabilidade. Jacob Bernoulli publicou cinco tratados em séries infinitas entre 1682 e 1704 Os dois primeiros continham muitos resultados, como o resultado fundamental de que ∑ 1 n {\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}} diverge, que Bernoulli acreditava serem novos, mas na verdade haviam sido provados por Pietro Mengoli 40 anos antes. Bernoulli não conseguiu encontrar um formulário fechado para ∑ 1 n 2 {\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}} , mas ele mostrou que convergiu para um limite finito inferior a 2. Euler foi o primeiro a encontrar a soma dessa série em 1737. Bernoulli também estudou a série exponencial resultante do exame dos juros compostos.
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Em 1683 Bernoulli descobriu a constante e estudando uma questão sobre juros compostos que exigia que ele encontrasse o valor da seguinte expressão (que na verdade é e ) e): Um exemplo é uma conta que começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, ao final do ano, o valor é de R $ 2,00; mas se os juros forem calculados e adicionados duas vezes no ano, $ 1 será multiplicado por 1,5 duas vezes, resultando em $ 1,00 × 1,5² = $ 2,25. Os rendimentos trimestrais compostos $ 1,00 × 1,25 4 = $ 2,4414 ... e os rendimentos mensais compostos $ 1,00 × (1,0833 ...) 12 = $ 2,613035 .... Bernoulli notou que essa sequência se aproxima de um limite (a força de interesse) para intervalos compostos maiores e menores. A composição semanal rende $ 2,692597 ..., enquanto a composição diária rende $ 2,714567 ..., apenas dois centavos a mais. Usando n como o número de intervalos compostos, com juros de 100% / n em cada intervalo, o limite para n grande é o número que Euler posteriormente denominou e ; com composição contínua, o valor da conta alcançará $ 2,7182818 .... Mais geralmente, uma conta que começa em $ 1 e rende (1+ R ) dólares com juros compostos, renderá e R dólares com composição contínua.
Bernoulli queria uma espiral logarítmica e o lema Eadem mutata resurgo ('Embora mudado, ressuscito o mesmo') gravado em sua lápide. Ele escreveu que a espiral auto-similar "pode ser usada como um símbolo, seja de fortaleza e constância na adversidade, ou do corpo humano, que depois de todas as suas mudanças, mesmo após a morte, será restaurado ao seu ser exato e perfeito". Bernoulli morreu em 1705, mas uma espiral de Arquimedes foi gravada em vez de uma logarítmica. Tradução da inscrição em latim:
