Interseção

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Pela teoria básica de conjuntos, define-se A ∩ B {\displaystyle A\cap B} por: A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } {\displaystyle A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}} Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula Φ = x ∈ w 1 : {\displaystyle \Phi =x\in w_{1}:} ∀ z ∀ w 1 ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⟺ ( x ∈ z ∧ x ∈ w 1 ) ) {\displaystyle \forall z\forall w_{1}\exists y\forall x(x\in y\iff (x\in z\land x\in w_{1}))} Esse axioma garante a existência da interseção ( y = z ∩ w 1 {\displaystyle y=z\cap w_{1}} ); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único. ∀ A ∀ B ∃ ! ( A ∩ B ) ∀ x ( x ∈ ( A ∩ B ) ⟺ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ) {\displaystyle \forall A\forall B\exists !(A\cap B)\forall x(x\in (A\cap B)\iff (x\in A\land x\in B))}

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Considerando-se que ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ⟺ ( x ∈ B ∧ x ∈ A ) {\displaystyle (x\in A\land x\in B)\iff (x\in B\land x\in A)} e que ( ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∧ x ∈ C ) ⟺ ( x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∧ x ∈ C ) ) , {\displaystyle ((x\in A\land x\in B)\land x\in C)\iff (x\in A\land (x\in B\land x\in C)),} prova-se que: ∀ A ∀ B ( A ∩ B = B ∩ A ) {\displaystyle \forall A\forall B(A\cap B=B\cap A)} ∀ A ∀ B ∀ C ( ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ) {\displaystyle \forall A\forall B\forall C((A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C))} Como o conjunto vazio ∅ {\displaystyle \varnothing } tem a propriedade que ∀ x ( x ∉ ∅ ) , {\displaystyle \forall x(x\notin \varnothing ),} temos que: ∀ A ( A ∩ ∅ = ∅ ) {\displaystyle \forall A(A\cap \varnothing =\varnothing )} Deve-se tomar cuidado ao dizer que ∩ {\displaystyle \cap } é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

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Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M: ⋂ X ∈ M X . {\displaystyle \bigcap _{X\in M}X.} como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M: x ∈ ⋂ X ∈ M X ⟺ ( ∀ Y ∈ M ⟹ x ∈ Y ) {\displaystyle x\in \bigcap _{X\in M}X\iff (\forall Y\in M\implies x\in Y)} O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união: ⋂ X ∈ M X = { x ∈ ⋃ X ∈ M X | ( ∀ Y ∈ M ⟹ x ∈ Y ) } {\displaystyle \bigcap _{X\in M}X=\{x\in \bigcup _{X\in M}X|(\forall Y\in M\implies x\in Y)\}}