Interpolação linear
Na matemática, Interpolação linear é um método no qual instanciamos um novo conjunto de dados utilizando interpolação polinomial em vista de construir novos pontos de dados no alcance de pontos já conhecidos.
Imagem: Jair Martins · BY-SA · Openverse
Dados os pontos ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} e ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} , a interpolante linear é a linha entre os dois pontos. Para um valor x no intervalo ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle (x_{0},x_{1})} , o valor y é a linha entre os pontos. Estabelecendo a seguinte relação: que pode ser derivado geometricamente da figura ao lado. Se trata de um caso especial de interpolação polinomial com n = 1. Tal que resolvendo para y com x temos a relação geométrica: cuja formula é a interpolação linear entre o intervalo ( x 0 , x 1 ) {\displaystyle (x_{0},x_{1})} . Fora do intervalo denominamos de extrapolação linear. Podemos visualizar a formula como uma média ponderada. Os pesos são inversamente proporcionais à distância entre o ponto de chegada e o ponto desconhecido. O ponto mais perto pondera mais que o ponto distante. Portanto, os pesos são x − x 0 x 1 − x 0 {\textstyle {\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} e x 1 − x x 1 − x 0 {\textstyle {\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}} , que são distâncias normalizadas entre o ponto desconhecido e o ponto de chegada. Dado que a soma é 1:
Interpolação linear é utilizada como método de aproximação para uma função f utilizando dois pontos dados pela mesma. O erro (ou "resto" ou "resíduo") desta aproximação pode ser dado pela expressão: onde p denota a interpolação polinomial definida abaixo: R ( x ) = f ″ ( x 1 ) 2 ! ( x − x 1 ) 2 = f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 . {\displaystyle R(x)={\frac {f''(x_{1})}{2!}}(x-x_{1})^{2}={\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}.\,\!} Pode ser provada utilizando o teorema de Rolle, que cita que se f tem uma segunda derivada o erro está definido por:
Precisão
Se a função C0 é insuficiente, por exemplo, se o processo produziu os pontos de dados é provado ser mais 'liso' que C0, é comum substituir interpolação linear por interpolação de spline, ou até mesmo interpolação polinomial em alguns casos.
Multivariável
Para duas dimensões espaciais, a extensão da interpolação linear é chamada de interpolação bilinear, e em três dimensões, interpolação trilinear. Note, que esses interpolantes não são mais funções lineares, porem produtos de funções lineares; como ilustrado claramente pelo exemplo de interpolação bilinear nessa figura abaixo. Outros tipos de interpolação podem ser aplicados a malhas triangulares e tetraédricas, incluindo superfícies Bézier.
Interpolação linear é utilizada desde a antiguidade para completar "buracos" nas tabelas, geralmente contendo dados astronômicos. Acredita-se que era utilizado por astrônomos Babilônios e matemáticos da Mesopotâmia (300 anos a.C.), e pelos astrônomos da Grécia. Uma descrição da interpolação linear pode ser encontrada no Almagesto (200 anos d.C.) por Ptolomeu.
Muitas bibliotecas e linguagens de shaders tem uma função denominada de "lerp", que retorna a interpolação entre dois valores (v0,v1) e um parâmetro (t) em um intervalo fechado de [0,1]: Essa função lerp é usualmente utilizada para mesclar o canal alpha (onde o parâmetro 't' é o alpha), e a formula pode ser estendida para mesclar múltiplos componentes de vetores (como espaciais x,y,z ou cores com componentes r,g,b) em paralelo.
