Histograma
O histograma, também conhecido como distribuição de frequências, é a representação gráfica em colunas ou em barras (retângulos) de um conjunto de dados previamente tabulado e dividido em classes uniformes ou não uniformes. A base de cada retângulo representa uma classe. A altura de cada retângulo representa a quantidade ou a frequência absoluta com que o valor da classe ocorre no conjunto de dados para classes uniformes ou a densidade de frequência para classes não uniformes. Importante ferramenta da estatística, o histograma também é uma das chamadas sete ferramentas da qualidade.
A palavra "histograma" se origina dos termos gregos: istos (mastro) e gramma (escrita) e pode ser interpretada como uma escrita em longas formas verticais ou algo semelhante. Entretanto, a palavra não foi originalmente utilizada no idioma grego. A noção de histograma foi cunhada pelo matemático britânico Karl Pearson no ano de 1895. De acordo com informações do Oxford Dictionary of English, extraídas da obra Philosophical Transactions of the Royal Society, a palavra foi introduzida pelo autor em suas palestras sobre estatística como um termo para uma forma comum de representação gráfica. Isto é, colunas que marcam como áreas a frequência correspondente à extensão da sua base. A palavra teria surgido do termo inglês historical diagram (diagrama histórico). Tudo indica que os histogramas começaram a ser utilizados antes de receberem o nome. Porém, o seu surgimento é incerto. Provavelmente os gráficos de barras antecederam os histogramas. O gráfico de barra mais antigo do qual se tem informações aparece no livro Commercial and Political Atlas, escrito pelo economista político escocês William Playfair para mostrar as importações e as exportações entre a Escócia e outros dezessete países em 1781.
Um histograma representa uma distribuição de frequência por meio de retângulos, cujas larguras representam intervalos de classe e cujas áreas são proporcionais às frequências (absolutas ou relativas). A altura de cada retângulo é a frequência dividida pelo tamanho do intervalo. Se os intervalos de classes adjacentes não possuem lacunas, os retângulos tocam–se para indicar que a variável original é contínua. Por exemplo, um histograma pode conter dois intervalos de ligação 10,5 – 20,5 e 20,5 – 33,5, mas não pode conter dois intervalos de ligação 10,5 – 20,5 e 22,5 – 32,5. Os intervalos vazios são representados como vazios (não são ignorados). Os histogramas às vezes são confundidos com gráficos de barras. Um histograma é usado para dados contínuos, em que os intervalos de classe representam a extensão dos dados. Já um gráfico de barra é um gráfico de variáveis categóricas ou discretas. Alguns autores recomendam que os gráficos de barras tenham espaços entre os retângulos para esclarecer a diferença.
Em termos matemáticos, um histograma é uma função m i {\displaystyle m_{i}} que conta o número de observações de cada um dos intervalos de classe. Um gráfico é apenas uma forma de representar um histograma. Então, se n {\displaystyle n} for o número total de observações e se k {\displaystyle k} for o número total de intervalos de classe, o histograma m i {\displaystyle m_{i}} satisfaz a seguinte condição
Histograma cumulativo
Um histograma cumulativo é um mapeamento que conta o número cumulativo de observações em todos os intervalos de classe até o intervalo de classe especificado. Um histograma cumulativo M i {\displaystyle M_{i}} de um histograma m j {\displaystyle m_{j}} é definido como M i = ∑ j = 1 i m j {\displaystyle M_{i}=\sum _{j=1}^{i}{m_{j}}} .
Número de intervalos e largura
Não há um número ideal de intervalos de classe. Diferentes tamanhos de intervalos de classe podem revelar diferentes características dos dados. O agrupamento de dados é pelo menos tão antigo quanto o trabalho de John Graunt no século XVII, embora nenhuma orientação sistemática tenha surgido até o trabalho de Herbert Sturges em 1926. Usando intervalos de classe mais largos, a baixa densidade reduz o ruído devido à aleatoriedade da amostragem. Usando intervalos de classe mais estreitos, a densidade elevada garante maior precisão à estimativa da densidade. Então, variar a largura do intervalo de classe em um histograma pode ser benéfico. Entretanto, intervalos de classe com larguras iguais são amplamente utilizados.
Construindo um histograma
A construção de um histograma envolve as seguintes etapas: Para definir o intervalo e o número de classes para um conjunto de dados não há fórmula matemática exata, mas uma sistemática consiste em determinar: Dentro desta sistemática, é essencial que k ⋅ h ≥ V m a x − V m i n {\displaystyle k\cdot h\geq V_{max}-V_{min}} , de modo que todos os dados sejam abrangidos. Um h {\displaystyle h} muito pequeno pode incluir variações muito pequenas de valores ou ruído e um h {\displaystyle h} muito grande pode eliminar variações importantes dos dados. Para n > 30 {\displaystyle n>30} , pode–se aplicar com segurança a fórmula proposta por Sturges. k {\displaystyle k} é o menor inteiro, tal que k > 1 + 3 , 32 ⋅ log ( n ) {\displaystyle k>1+3,\!32\cdot \log(n)} . No exemplo da tabela ao lado ( n = 18 {\displaystyle n=18} ), k = 6 > 1 + 3 , 322 ⋅ log ( 18 ) = 5 , 17 {\displaystyle k=6>1+3,\!322\cdot \log(18)=5,\!17} é uma boa escolha para o número de classes. Para k = 5 , 17 {\displaystyle k=5,17} , h ≥ ( V m a x − V m i n ) k = ( 67 − 44 ) 6 ≅ 3 , 83 {\displaystyle h\geq {\frac {(V_{max}-V_{min})}{k}}={\frac {(67-44)}{6}}\cong 3,\!83} é uma boa escolha para o intervalo de classes.
Construção de um histograma com base no Censo
A partir de uma análise estatística e de dados demográficos de uma população é possível construir um histograma. Por exemplo, o Escritório de Censos dos EUA descobriu que havia 124 milhões de pessoas que trabalham fora de suas casas. Usando os dados sobre o tempo de viagem de casa para o trabalho, a tabela abaixo mostra o número absoluto de pessoas que responderam na sua maioria pelo menos 30 minutos e menos de 35 minutos para o tempo de percurso. Isto provavelmente deve–se às pessoas que arredondam o tempo de viagem de casa para o trabalho. O problema de relatar valores como números arbitrariamente arredondados é um fenômeno comum na coleta de dados de pessoas.
Em um histograma, é a área que indica a frequência de ocorrência de cada barra. Isto significa que a altura da barra não indica necessariamente a quantidade de ocorrências dentro dela. É o produto da altura pela largura da barra que indica a frequência de ocorrência dentro da barra. Uma das razões pelas quais a altura da barra é confundida com o indicador de frequência da barra é o fato de muitos histogramas terem barras igualmente espaças. O aprendizado sobre os histogramas também requer o entendimento das partes do gráfico. O eixo X ou eixo horizontal mostra o intervalo ou os valores dos intervalos de variável de interesse. Eles são comumente chamados de intervalos de classe, que representam ou resumem grandes conjuntos de dados. O eixo Y ou eixo vertical mostra os valores das alturas das barras.
Frequência absoluta
Uma frequência absoluta é o número que representa a quantidade de dados em uma determinada amostra ou o intervalo de classe especifico. Por exemplo, em época de eleições, a quantidade de eleitores brasileiros é representada por um número. Este número chama–se de frequência absoluta. Até 2016 o número de eleitores brasileiros era de 146 275 020 de pessoas. Portanto, o gráfico de frequência absoluta é o histograma usual, em que o eixo Y (ordenada) indica a frequência (absoluta) com que uma classe aparece no conjunto de dados.
Frequência relativa
Uma frequência relativa é o valor percentual que é obtido por meio do resultado da divisão entre o valor absoluto e a quantidade de elementos da população ou da amostra. Para a construção da frequência relativa e acumulativa, é preciso fazer uma tabela associando a classe ao porcentual em que ela aparece no conjunto de dados. Por exemplo, na classe entre 45 e 50 mg/dL da tabela abaixo, obteve–se a frequência absoluta 4 do total de 18 amostras submetidas à análise. Logo, frequência relativa = 4 18 × 100 % = 22 , 22 % {\displaystyle {\text{frequência relativa}}={\frac {4}{18}}\times 100\%=22,22\%} .
Frequência cumulativa
A frequência cumulativa está ligada à soma dos valores de frequência relativa. Por exemplo, para o gráfico de frequência cumulativa soma–se em ordem crescente o valor de uma frequência relativa de uma classe qualquer com todas as classes com valores inferiores. Este gráfico é útil para obter informações a respeito de uma faixa de valores. Por exemplo, na tabela acima observa–se que 61,11% das amostras têm valor inferior a 55 mg/dL. Desta forma obtém-se o gráfico abaixo que representa os histogramas da frequência relativa e acumulativa, indicando a frequência absoluta em cada classe.
Polígono de frequências
Polígono é uma forma geométrica que, por definição, é uma região fechada de um plano limitada por um conjunto de segmentos finitos. A diversidade do conceito de polígonos permite a elaboração de uma área, ligando os pontos centrais do topo de cada barra de um histograma chegando na elaboração de um polígono de frequências.
Exemplos de histogramas padrões
Com os dados da tabela abaixo, é possível chegar aos exemplos de histogramas padrões simétricos e unimodal, distorcido à direita, distorcido à esquerda, bimodal, multimodal e simétrico. Também é possível encontrar as medidas de tendência central, media, moda e mediana. Um histograma unimodal ou simétrico centraliza os dados na média (medida central) e possui características por meio da distribuição da média e do desvio padrão. Uma característica do histograma unimodal ou simétrico é conter a partir do centro do gráfico o maior número de dados. Por exemplo, partindo do centro da base das barras e somando para a direita e subtraindo para a esquerda do gráfico o desvio padrão, encontra–se 68% dos dados. Em estatística, este modelo é chamado de normal e permite analisar o quanto outros dados se afastam deste modelo.
O campo da computação chamado processamento de imagem é um exemplo prático de como histogramas podem ser utilizados. Em uma imagem, a quantidade de vezes que uma determinada cor se repete pode ser representada por um histograma. Como há várias possibilidades de cores, este tipo de histograma é gerado com base em uma foto preto e branco. Em processamento de imagens e vídeos, os histogramas são utilizados para traduzir distorções, cores, padrões, número total de objetos, dimensões, geometria, propriedades de cor, luminosidade e textura. Isto é, os histogramas são utilizados para o reconhecimento e a recuperação de imagens morfistas e de objetos poliédricos com poses desconhecidas. Portanto, o histograma das intensidades de imagens demonstra–se uma ferramenta eficiente para a indexação de bases de dados visuais. Não é possível codificar informações sobre textura. Isto é, não é possível gerar um conjunto de dados representativos a partir da representação da imagem (não são gerados arquivos). Entretanto, os histogramas das versões gaussianas ou curva normal de uma imagem desfocada, codificam as interações entre intensidades de partes vizinhas da imagem causada pela falta de foco. Estes histogramas chamam–se histogramas de multi–resolução. Estas representações mantêm as propriedades importantes dos histogramas. Entre as facilidades da técnica estão a agilidade para computar, espaço eficiente e invariante para movimentos rígidos. O desfoque inerente também é útil ao ruído. Todas estas propriedades resultam em um recurso de textura eficaz.
Indústria
Para oferecer suporte na indústria foram criadas sete ferramentas da qualidade, das quais o histograma faz parte e fornece ajuda na identificação, na observação, na análise, na verificação e na conclusão de um problema. Portanto o histograma é uma forma robusta para auxiliar vários setores, pois envolve a medição de dados em geral e demonstra tendências. O histograma permite a análise dos valores de um processo de produção. O histograma ilustra a distribuição de uma população por meio da qual pode–ser verificar visualmente se há algum problema na fabricação que está gerando mais gastos para a empresa.
Finanças
As empresas possuem um fluxo contínuo de valores em vários setores, como compra, pagamento, salários, entre outros. Especialmente sobre os salários em uma empresa, é possível verificar se há alguma tendência nos pagamentos ou desvio de valores a partir de um padrão estatístico de fluxo dos valores por meio de um histograma. A partir do fluxo contínuo dos pregões em uma bolsa de valores como o Índice de Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa) é possível observar por meio do histograma de retorno os preços do mercado no decorrer dos dias. A partir da análise gráfica é possível observar chamadas fat tails (caudas pesadas), que possuem caudas mais pesadas que uma distribuição normal. Muitas pesquisas foram feitas no setor para descrever o comportamento dos retornos nas bolsas de valores.
Medicina
É comum a utilização de histogramas na medicina para analisar dados contínuos de pacientes como peso, respiração e dados contínuos de uma população como o grupo de grávidas, obesos, infectados pelo HIV, entre outros. Por exemplo, as intervenções medicas em uma população podem ocorrer após a análise de uma tendência em um histograma.
