Hipérbole
Em matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.
Os vértices da hipérbole são os dois pontos, um de cada hipérbole oposta, mais próximos entre si. A reta que liga estes dois pontos se chama o eixo transverso da hipérbole. O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que une os dois vértices. A hipérbole também pode ser definida como o locus de pontos para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro. Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como assíntotas. Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.
Cartesiana
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semieixo real (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semieixo imaginário. Note que b pode ser maior que a. Para hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:
Polar
Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste: Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.
Paramétrica
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor. Outra maneira é através das funções hiperbólica senh e cosh. A diferença dessas duas maneiras é que a primeira é muito mais rápida (uma pequena variação do ângulo, produz uma grande variação nas coordenadas). Também, a primeira não está definida para π / 2 {\displaystyle \pi /2} e 3 π / 2 {\displaystyle 3\pi /2} . O que conecta as duas maneiras de parametrizar são as equações abaixo:
Um exemplo de aplicação da hipérbole é no sistema de navegação LORAN. Em um determinado caso, por exemplo, há pares de estações emitindo sinais, e a diferença de tempo na recepção de ambos pode ser utilizada para determinar a posição de um navio
Trissecção de um ângulo
Um problema clássico na geometria de construções com régua e compasso é o da trissecção de um ângulo. Procura-se achar um método para que, dado um ângulo θ {\displaystyle \theta } qualquer e usando apenas um compasso e uma régua sem graduação, encontre-se um ângulo cuja medida seja θ / 3 {\displaystyle \theta /3} . Apolônio de Perga, o autor da obra clássica As Cônicas, mostrou que uma seção cônica poderia ser usada para trissectar um ângulo arbitrário. O conjunto de pontos determinados pela cônica utilizada, no entanto, não pode ser determinado via construções com régua e compasso. A impossibilidade da resolução do problema da trissecção de um ângulo usando compasso e régua foi provada por Pierre Wantzel em 1837.
