História da geometria
Geometria surgiu como o campo do conhecimento lidando com as relações espaciais. A geometria era um dos dois campos da matemática pré-modernas, o outro sendo o estudo dos números (aritmética).
Os registros primordiais mais antigos da geometria podem ser atribuídos a povos primitivos, que descobriram triângulos obtusos no antigo Vale do Indo (ver a matemática dos harappeanos), e antiga Babilônia (ver matemática babilônica) em torno de 3000 a.C.. Geometria primitiva era uma coleção de princípios empiricamente descobertos em matéria de comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para satisfazer alguma necessidade prática em agrimensura, construção, astronomia e vários ofícios. Entre estes estavam alguns princípios surpreendentemente sofisticados, e a um matemático moderno pode ser difícil derivar alguns deles sem o uso de cálculo. Por exemplo, tanto os antigos egípcios como os babilônios estavam cientes de versões do teorema de Pitágoras cerca de 1500 anos antes de Pitágoras; egípcios tinha uma fórmula correta para o volume de um tronco de uma pirâmide de base quadrada.
Geometria egípcia
Os antigos egípcios sabiam que podiam aproximar a área de um círculo como se segue: Problema 30 do papiro de Ahmes utiliza estes métodos para calcular a área de um círculo, de acordo com uma regra de que a área é igual ao quadrado de 8/9 do diâmetro do círculo. Isso pressupõe que π é 4 × (8/9) ² (ou 3,160493 ...), com um erro de pouco mais de 0,63 por cento. Este valor foi ligeiramente menos preciso do que os cálculos dos babilônios (25/8 = 3,125, dentro de uma margem de 0,53 por cento), mas não foi superado até a aproximação de Arquimedes de 211875/67441 = 3,14163, o que teve um erro de pouco mais de 1 em cada 10.000 . Curiosamente, Ahmes sabia do moderno 22/7 como uma aproximação para pi, e é usado para dividir um hekat, hekat x 22 /x x 22/07 = hekat; no entanto, Ahmes continuou a usar o valor 256/81 tradicional para pi para calcular seu volume de hekat encontrado em um cilindro.
Geometria babilônica
Os babilônios podem ter conhecido as regras gerais de medição de áreas e volumes. Mediram a circunferência de um círculo como três vezes o diâmetro e a área como um doze avos do quadrado da circunferência, o que seria correto se π fosse estimado como 3. O volume de um cilindro foi tomado como o produto da base e a altura, no entanto, o volume do tronco de um cone ou uma pirâmide quadrada incorretamente foi tomado como o produto da altura e metade da soma das bases. O teorema de Pitágoras também era conhecido pelos babilônios. Além disso, houve uma descoberta recente em que uma tábula apresentava π como 3 e ⅛ (3,125). Os babilônios também são conhecidos pela milha babilônica, que foi uma medida de distância igual a cerca de sete milhas atuais. Esta medição de distâncias, eventualmente, foi convertida para um “tempo-milha” utilizado para medir o curso do Sol, por conseguinte, representando tempo.
Geometria da Índia védica
O período védico indiano teve uma tradição de geometria, expresso sobretudo na construção de altares elaborados. Textos indianos iniciais (1º milênio a.C.) sobre este tema incluem o Satapatha Brahmana e os Śulba Sūtras. De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), os Śulba Sūtras contém "a expressão verbal existente mais antiga do Teorema de Pitágoras no mundo, embora já tivesse sido conhecido para os antigos babilônicos." “A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um (retângulo) oblongo produz tanto como as (cordas) do flanco (pārśvamāni) e a horizontal (tiryaṇmānī) produzem separadamente." Eles contêm listas de trios pitagóricos, que são casos particulares de equações diofantinas. Também contêm afirmações (que com retrospectiva que sabemos ser aproximada) sobre a quadratura do círculo e "circulatura do quadrado".
Geometria grega clássica
Para os antigos matemáticos gregos, a geometria era a jóia da coroa de suas ciências, atingindo uma completa e perfeita de metodologia que nenhum outro ramo do seu conhecimento tinha alcançado. Eles ampliaram o leque da geometria para muitos novos tipos de números, curvas, superfícies e sólidos; mudaram a sua metodologia de tentativa-e-erro para a dedução lógica; Eles reconheceram que os estudos de geometria eram de "formas eternas", ou abstrações, das quais os objetos físicos são apenas aproximações; e eles desenvolveram a ideia do "método axiomático", ainda em uso hoje. Tales (635-543 aC), de Mileto (agora no sudoeste da Turquia), foi o primeiro a quem é atribuída a dedução na matemática. Há cinco proposições geométricas para as quais ele escreveu demonstrações dedutivas, embora suas demonstrações não tenham sobrevivido. Pitágoras (582-496 aC) da Jônia, e mais tarde, na Itália, em seguida, colonizada por gregos, pode ter sido um aluno de Tales, e viajou pela Babilônia e Egito. O teorema que leva seu nome pode não ter sido sua descoberta, mas ele foi provavelmente um dos primeiros a dar uma prova dedutiva dele. Ele reuniu um grupo de estudantes em torno dele, para estudar matemática, música e filosofia, e, juntos, eles descobriram mais do que os alunos do ensino médio aprendem hoje em seus cursos de geometria. Além disso, eles fizeram a descoberta profunda de comprimentos incomensuráveis e números irracionais, cuja primeira descoberta é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto.
Geometria helênica
Euclides (aproximadamente 325-265 a.C.), de Alexandria, provavelmente um estudante de um dos alunos de Platão, escreveu um tratado em 13 livros (capítulos), intitulado “Os Elementos da Geometria”, mais conhecidos como “Os Elementos”, na qual ele apresentou a geometria de uma forma axiomática ideal, que veio a ser conhecido a “geometria Euclideana”. O tratado não é um compêndio de tudo o que os matemáticos helênicos sabiam na época sobre a geometria; Euclides mesmo escreveu oito livros mais avançados sobre a geometria. Sabemos de outras referências que Euclides não foi autor do primeiro livro de geometria elementar, mas foi muito superior que os outros que caíram em desuso e foram perdidos. Ele foi trazido para a universidade em Alexandria por Ptolomeu I, rei do Egito.
No manuscrito Bakhshali, há um pequeno número de problemas geométricos (incluindo problemas sobre volumes de sólidos irregulares). O manuscrito Bakhshali também "emprega um sistema de valores de casas decimais com um ponto para o zero." O Aryabhatiya de Ariabata (499) inclui o cálculo de áreas e volumes. Brahmagupta escreve seu trabalho astronômico Brāhma Sphuṭa Siddhānta em 628. O capítulo 12, contendo 66 versos em Sânscrito, foi dividido em duas seções: "operações básicas" (incluindo raízes cúbicas, frações, razões e proporções e permutações) e "matemática prática" (incluindo misturas, séries matemáticas, figuras planas, empilhamento de tijolos, serragem de madeira e de grãos). Na última seção, ele declarou seu famoso teorema sobre as diagonais de um quadrilátero cíclico: Teorema de Brahmagupta: Se um quadrilátero cíclico tem diagonais que são perpendiculares uma a outra, então a linha perpendicular traçada a partir do ponto de interseção das diagonais para qualquer lado do quadrilátero sempre corta o lado oposto.
A primeira obra definitiva (ou, pelo menos, mais antiga existente) na geometria na China foi o Mo Jing, o cânone Moísta do filósofo primordial Mozi (470-390 a.C.). Foi compilado anos após sua morte por seus seguidores ao redor do ano 330 a.C.. Embora o Mo Jing seja o mais antigo livro existente na geometria na China, existe a possibilidade de que material escrito ainda mais antigo tenha existido. No entanto, devido à infame "Queima dos Livros" em uma manobra política pelo governante da dinastia Chin, Qin Shihuang (r. 221-210 a.C.), grande volume de literatura escrita criada antes de seu tempo foi perdida. Além disso, o Mo Jing apresenta conceitos geométricos em matemática que são talvez demasiado avançados para não ter tido uma base geométrica anterior ou o fundo matemático sobre o qual trabalhou-se. O Mo Jing descreve vários aspectos de muitos campos associados ciência física, e fornece também uma pequena quantidade de informações sobre matemática. Ele fornece uma definição 'atômica' do ponto geométrico, indicando que uma linha é dividida em partes, e tais partes que não tem partes restantes (i.e. não podem ser divididas em partes menores) e então formam o fim extremo de uma linha que é um ponto. Muito parecidas com a primeira e a terceira definições de Euclides e o 'início de uma linha’ de Platão, o Mo Jing afirma que "um ponto pode ficar no final (de uma linha) ou no seu início como uma apresentação de uma cabeça no parto. (Quanto à sua invisibilidade) não há nada semelhante a ele." Similarmente ao atomismo de Demócrito, o Mo Jing afirma que um ponto é a menor unidade, e não pode ser cortado pela metade, uma vez que ‘nada’ não pode ser reduzido para metade. Ele afirma que duas linhas de igual comprimento terminarão sempre no mesmo lugar, enquanto fornece definições para a comparação de comprimentos e para paralelos, juntamente com os princípios do espaço e do espaço limitado. Ele também descreve o fato de que os planos sem a qualidade de espessura não podem ser empilhados desde que eles não podem mutuamente tocar-se. O livro fornece definições para a circunferência, diâmetro e raio, juntamente com a definição de volume.
Os Nove Capítulos da Arte Matemática
Os Nove Capítulos da Arte Matemática, cujo título apareceu pela primeira vez em 179 d.C. em uma inscrição em bronze, foi editado e comentado pelo matemático do século III Liu Hui do Reino de Cao Wei. Este livro incluiu muitos problemas onde a geometria foi aplicada, como encontrar-se áreas de superfície para quadrados e círculos, os volumes de sólidos em várias formas tridimensionais, e incluiu o uso do teorema de Pitágoras. O livro ilustrado fornecida demonstração para o teorema de Pitágoras, continha um diálogo escrito entre o anterior Duque de Zhou e Shang Gao sobre as propriedades do triângulo de ângulo reto e o teorema de Pitágoras, ao mesmo tempo, referindo-se ao gnômon astronômico, o círculo e quadrado, bem como medições de alturas e distâncias. O editor Liu Hui descreveu pi como 3,141014 usando um polígono de 192 lados, e então calculando pi como 3,14159 usando um polígono de 3072 lados. Isso era mais preciso que o contemporâneo de Liu Hui, Wang Fan, um matemático e astrônomo de Wu Oriental, que tomou pi como 3,1555 usando 142⁄45. Liu Hui também escreveu sobre agrimensura matemática para calcular medidas de distância de profundidade, altura, largura e área de superfície. Em termos de geometria sólida, ele descobriu que uma cunha com base retangular e ambos os lados inclinados poderia ser dividida em uma pirâmide e uma cunha tetraédrica. Ele também descobriu que uma cunha com base na forma de trapézio e ambos os lados inclinados poderia ser feita para dar duas cunhas tetraédricas separadas por uma pirâmide. Além disso, Liu Hui descreveu o princípio de Cavalieri em volume, bem como a eliminação de Gauss. A partir dos nove capítulos, enumerou as seguintes fórmulas geométricas que eram conhecidas no período da antiga Dinastia Han (202 a.C - 9 d.C.).
A destruição final da Biblioteca de Alexandria na conquista muçulmana do Egito, em 642 d.C. marca o colapso da antiguidade clássica no Ocidente, e no início da "Idade das Trevas" europeia. Até o início do século IX, a "Idade de Ouro islâmica" floresceu, a criação da Casa da Sabedoria, em Bagdá, marcando uma tradição separada da ciência no mundo islâmico medieval, a construção não somente com bases helênicas, mas também sobre fontes indianas. Embora os matemáticos islâmicos sejam mais famosos por seu trabalho em álgebra, teoria dos números e sistemas de numeração, eles também fizeram contribuições consideráveis à geometria, trigonometria e astronomia matemática, e foram responsáveis pelo desenvolvimento da geometria algébrica. Magnitudes geométricas foram tratadas, no entanto, como "objetos algébricos" pela maioria dos matemáticos islâmicos. Al-Mahani (nascido em 820) concebeu a ideia de reduzir problemas geométricos, como a duplicação do cubo, para os problemas de álgebra. Alcaraji (nascido em 953) livrou completamente a álgebra de operações geométricas e substituiu-a com o tipo aritmético de operações que estão no cerne da álgebra hoje.
A família de Thābit e outros geômetras iníciais
Thābit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim, nascido em 836) contribuiu para uma variedade de áreas da matemática, onde desempenhou um papel importante na preparação do caminho para descobertas matemáticas importantes como a ampliação do conceito de número (positivo) para números reais, cálculo integral, teoremas de trigonometria esférica, geometria analítica e geometria não-euclidiana. Em astronomia, Thābit foi um dos primeiros reformadores do sistema de Ptolomeu, e em mecânica, ele foi um dos fundadores da estática. Um aspecto geométrico importante do trabalho de Thābit era seu livro sobre a composição dos índices. Neste livro, Thābit lida com operações aritméticas aplicadas a relações de grandezas geométricas. Os gregos tinham lidado com quantidades geométricas, mas não tinha pensado neles da mesma maneira como números para os quais as regras usuais da aritmética poderiam ser aplicadas. Com a introdução de operações aritméticas em quantidades previamente consideradas geométricas e não-numéricas, Thābit iniciou uma tendência que levou, eventualmente, para a generalização do conceito de número.
Arquitetura geométrica
Descobertas recentes têm mostrado que os padrões geométricos de quasicristais foram empregados pela primeira vez nos mosaicos girih encontradas na arquitetura islâmica medieval que remonta até cinco séculos atrás. Um estudo de 2007 na revista Science sugeriu que mosaicos girih tem propriedades consistentes com fractais autossimilares quasicristalinos, tais como os mosaicos de Penrose, antecedendo-os por cinco séculos.
Quando a Europa começou a emergir de sua Idade das Trevas, os textos helênicos e islâmicos sobre geometria encontrados em bibliotecas islâmicas foram traduzidos do árabe para o latim. A transmissão dos clássicos gregos para a Europa medieval através da literatura árabe do século IX e X da "Idade de Ouro Islâmica" começou no século X e culminou nas traduções latinas do século XII. Uma cópia do Almagesto de Ptolomeu foi trazido de volta para a Sicília por Enrico Aristipo (d. 1162), como um presente do imperador ao rei Guilherme I (r. 1154-1166). Um estudante anônimo em Salerno viajou para a Sicília e traduziu o Almagesto, bem como várias obras de Euclides do grego para o latim. Em geral, embora os sicilianos diretamente traduziram a partir dos textos gregos, quando textos gregos não estavam disponíveis, eles traduziram do árabe. Eugênio de Palermo (d. 1202) traduziu Óptica de Ptolomeu para o latim, com base em seu conhecimento de todas as três línguas na tarefa. Os métodos dedutivos rigorosos de geometria encontrada nos Elementos de Euclides da geometria foram reaprendidos, e um maior desenvolvimento da geometria em ambos os estilos, de Euclides (geometria euclidiana) e Omar Caiame (geometria algébrica) continuou, resultando em uma abundância de novos teoremas e conceitos, muitos deles muito profundas e elegantes.
O século XVII
No início do século XVII, havia dois importantes desenvolvimentos na geometria. O primeiro e mais importante foi a criação da geometria analítica, ou geometria com coordenadas e equações, por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). Isso foi um precursor necessário para o desenvolvimento do cálculo e uma ciência quantitativa precisa da física. O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). Geometria projetiva é o estudo da geometria sem medição, apenas o estudo de como os pontos alinham-se uns com os outros. Houvera algum trabalho inicial nesta área por geômetras helênicos, nomeadamente Papo de Alexandria (aprox. 340). O maior florescimento do campo ocorreu com Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
Os séculos XVIII e XIX
O problema muito antigo de demonstrar o quinto postulado de Euclides, o "Postulado das Paralelas", a partir de seus primeiros quatro postulados nunca havia sido esquecido. Inicialmente, não muito tempo depois de Euclides, muitos tentaram apresentar demonstrações, mas todas foram mais tarde demonstradas serem falhas, através de demonstrar-se que apresentavam no raciocínio algum princípio que não tinha sido demonstrado a partir dos quatro primeiros postulados. Embora Omar Caiame também não tivesse êxito em demonstrar o postulado das paralelas, suas críticas de teorias de Euclides de paralelas e sua prova de propriedades de figuras em geometrias não-euclidianas contribuiu para o eventual desenvolvimento de geometria não-euclidiana.
O século XX
Os desenvolvimentos na geometria algébrica incluíram o estudo de curvas e superfícies sobre corpos finitos, como demonstrado pelas obras de, entre outros, André Weil, Alexander Grothendieck, e Jean-Pierre Serre, bem como sobre os números reais ou complexos. A própria geometria finita, o estudo de espaços com apenas um número finito de pontos, encontrou aplicações na teoria da codificação e criptografia. Com o advento do computador, as novas disciplinas, tais como geometria computacional ou geometria digital com algoritmos geométricos, representações discretas de dados geométricos, e assim por diante.
