Função beta
Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo, é a função definida pela integral definida:
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A função beta é simétrica, o que significa que: Quando x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} são inteiros positivos, segue-se a partir da definição da função gama " Γ {\displaystyle \Gamma \ } " que: Ela tem muitas outras formas, incluindo: A função Beta satisfaz várias identidades interessantes, incluindo onde t ↦ t + x {\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}} é um função de potência truncada e a estrela da denota convolução. A identidade mais baixa acima, demonstra em particular Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}} . Algumas destas identidades, por exemplo, a fórmula trigonométrica, pode ser aplicada para derivar o volume de uma bola-n em coordenadas cartesianas. A integral de Euler para a função beta pode ser convertida em uma integral sobre o contorno de Pochhammer C como: Esta integral do contorno de Pochhammer converge para todos os valores de α e β e assim dá a continuação analítica da função beta. Assim como a função gama " Γ {\displaystyle \Gamma \ } " para inteiros descreve fatoriais, a função beta pode definir um coeficiente binomial depois de ajustar os índices:
A função beta incompleta, é uma generalização da função beta, definida como Para x = 1, a função beta incompleta coincide com a função beta completa. A relação existente entre estas duas funções é como a que existe entre a função gama e sua generalização, a função gama incompleta. A função beta incompleta regularizada (ou função beta regularizada para abreviar) é definida em termos da função beta incompleta e da função beta completa:
