Média
Em estatística, média é definida como o valor que demonstra a concentração dos dados de uma distribuição, como o ponto de equilíbrio das frequências em um histograma. Média também é interpretada como um valor significativo de uma lista de números. Os valores de uma lista de números podem ser representados por meio da escolha aleatória de um número. Se todos os números forem iguais, o número escolhido aleatoriamente será a média. Então, a média pode ser calculada por meio da combinação dos números de maneira específica e da geração de um valor significativo. Entretanto, a palavra média é usualmente usada em métodos mais sofisticados como média aritmética, mediana, moda, entre outros.
Origem
O primeiro registro da ampliação da média aritmética de 2 para n casos para realização de estimativas ocorreu no século XVI. Do século XVI em diante, a média gradualmente se tornou um método comum para reduzir erros de medidas em várias áreas. Na época, os astrônomos queriam saber o valor real de medições imprecisas com a posição de um planeta ou o diâmetro da lua. Com a média de vários valores medidos, cientistas assumiram que o número de erros era relativamente pequeno em comparação com o total de valores medidos. O método de tirar a média para reduzir os erros de observação foi principalmente desenvolvido na astronomia. Um possível precursor da média aritmética é a mid-range (média de dois valores extremos), usada na astronomia árabe do século IX ao século XI e também na metalurgia e na navegação. Entretanto, há várias outras referências vagas sobre o uso da média aritmética. Elas não são tão claras, mas podem ter relação com a definição moderna de média. De acordo com um texto referente ao século IV:
Etimologia
De acordo com o Oxford English Dictionary, poucas palavras receberam uma maior investigação etimológica. Em um primeiro uso em inglês da palavra datado do final do século XV, média significava taxas alfandegárias e era usada na região do Mediterrâneo. Em seguida, média passou a significar o custo dos danos ocorridos no mar. Inclusive, surgiu o termo regulador de média para designar a pessoa que decidia como dividir os danos entre os proprietários e os seguradores do navio e da carga. Os danos ocorridos em mar (médias particulares) eram arcados apenas pelos proprietários da carga danificada (média geral), de modo que o proprietário podia reivindicar uma contribuição proporcional de todas as partes do empreendimento marítimo. O tipo de cálculo usado para regular a média geral deu origem ao uso da média como média aritmética.
Em estatística, dados possuem posições. Por exemplo, cada valor dos lançamentos de um dado possui sua posição em uma planilha eletrônica. Em estatística, média é uma medida de posição que indica um valor uniforme dos dados. Por exemplo, o conjunto x = { 2 , 1 , 6 , 5 , 10 } {\displaystyle x=\{2,1,6,5,10\}} possui média aritmética x ¯ = 4 , 8 {\displaystyle {\bar {x}}=4,8} . Embora 4 , 8 {\displaystyle 4,8} seja o valor médio, ele não é o valor central definido pela mediana.
Média aritmética
Seja n {\displaystyle n} o número total de valores e x i {\displaystyle x_{i}} cada valor, em que i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} . Média aritmética é a soma dos valores x i {\displaystyle x_{i}} dividido pelo número total de valores n {\displaystyle n} :
Média geométrica
Média geométrica é a n {\displaystyle n} -ésima raiz do produto de todos os valores x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} : MG= ∏ i = 1 n x i n = x 1 x 2 ⋯ x n n . {\displaystyle {\text{MG=}}{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.} Média geométrica pode ser pensada como o antilogaritmo da média aritmética dos logaritmos dos números. Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 é M G = 2 ⋅ 8 = 4. {\displaystyle MG={\sqrt {2\cdot 8}}=4.}
Média harmônica
Média harmônica é a recíproca da média aritmética para os valores x i {\displaystyle x_{i}} : M H = 1 1 n ∑ i = 1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n . {\displaystyle MH={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}.} Média harmônica é usada no cálculo de média de velocidade. Por exemplo, se a velocidade de ida um veículo do ponto A ao ponto B é de 60 km/h e a velocidade de volta do mesmo veículo do ponto A ao ponto B é de 40 km/h, então a velocidade média é dada por 2 1 60 + 1 40 = 48. {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48.} Entretanto, se o veículo tivesse viajado por metade do tempo em uma velocidade e metade do tempo em outra velocidade, a média aritmética de 50 km/h proveria a noção correta de média.
Observação
Em relação às médias, dado uma população ou amostra com todas as observações positivas e pelo menos dois números distintos, tem-se que: Média Aritmética > Geométrica > Harmônica {\displaystyle {\text{Média Aritmética}}>{\text{Geométrica}}>{\text{Harmônica}}}
Média Ponderada
Ver artigo principal: Média aritmética ponderada Média ponderada é a média aritmética com um coeficiente x i {\displaystyle x_{i}} ponderando os valores. O valor de x i {\displaystyle x_{i}} pode ser sempre igual ou diferente: x ¯ = ∑ i = 1 n w i x i ∑ i = 1 n w i = w 1 x 1 + w 2 x 2 + ⋯ + w n x n w 1 + w 2 + ⋯ + w n {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}
Média aritmética
Uma fábrica produz 200, 100, 50, 100, 150 e 200 unidades de um produto entre janeiro e junho. Qual a produção média mensal da fábrica no semestre? Para encontrar a produção média mensal da fábrica no semestre, é preciso calcular a média M {\displaystyle M} ou o valor matemático da sua produção média mensal entre janeiro e junho. Se a fábrica tivesse o mesmo desempenho entre janeiro e junho, sua produção total seria 6 × M = 6 M {\displaystyle 6\times M=6M} unidades no semestre. 6 M = 200 + 100 + 50 + 100 + 150 + 200 = 800 {\displaystyle 6M=200+100+50+100+150+200=800} M = 800 6 = 133 , 3 {\displaystyle M={\frac {800}{6}}=133,3} . Isto é, a fábrica produz em média 133,3 unidades entre janeiro e junho.
Média geométrica
O aumento da taxa de crescimento de uma empresa em novembro e em dezembro foi de 4 % {\displaystyle 4\%} e 20 % {\displaystyle 20\%} , respectivamente. Qual a taxa de crescimento média mensal da empresa no período? Embora o cálculo 4 % + 20 % 2 = 12 % {\displaystyle {\frac {4\%+20\%}{2}}=12\%} pareça razoável, é preciso encontrar uma mesma taxa de crescimento i {\displaystyle i} para o período. O crescimento total da empresa no período foi de 100 × 1 , 04 × 1 , 20 = 124 , 8 {\displaystyle 100\times 1,04\times 1,20=124,8} . Sejam 100 ( 1 + i ) {\displaystyle 100(1+i)} o crescimento total da empresa em novembro e 100 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle 100(1+i)^{2}} o crescimento total da empresa em dezembro.
Média harmônica
Um concurso que distribui anualmente um prêmio de R$ 180 teve 1 ganhador no primeiro ano e 3 ganhadores no segundo ano. Qual foi o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos? O número médio de ganhadores é 1 + 3 2 = 2 {\displaystyle {\frac {1+3}{2}}=2} , o que não significa que o prêmio médio dos ganhadores tenha sido R $ 180 2 = R $ 90 {\displaystyle {\frac {R\$180}{2}}=R\$90} nos dois anos. Para encontrar o prêmio médio dos ganhadores nos dois anos, é preciso calcular o prêmio médios dos ganhadores no primeiro ano e o prêmio médios dos ganhadores no segundo ano. Sejam R $ 180 1 = R $ 180 {\displaystyle {\frac {R\$180}{1}}=R\$180} o prêmio médio do ganhador no primeiro ano e R $ 180 3 = R $ 60 {\displaystyle {\frac {R\$180}{3}}=R\$60} o prêmio médio dos ganhadores no segundo ano.
Média ponderada
Em um grupo de pessoas, 20% delas são adultas e 80% delas são crianças. Os adultos pesam em média 75 quilos e as crianças pesam em média 45 quilos. Qual o peso médio do grupo? Os adultos correspondem a 20% ou a 0,2 do grupo, enquanto as crianças correspondem a 80% ou a 0,8 do grupo. A média 75 + 45 2 = 60 {\displaystyle {\frac {75+45}{2}}=60} não está correta porque a média dos pesos médios dos adultos e das crianças não demonstram o peso médio do grupo. Se 20% das pessoas do grupo pesam 75 quilos, então 0,2 x 75 = 15 quilos. Se 80% das pessoas do grupo pesam 45 quilos, então 0,8 x 45 = 36 quilos. ( 0 , 2 × 75 ) + ( 0 , 8 × 45 ) = 15 + 36 = 51 {\displaystyle (0,2\times 75)+(0,8\times 45)=15+36=51}
Taxa de retorno e CAGR
A taxa de retorno é um tipo de média usada em finanças. Quando a taxa de retorno é anual, ela é chamada de taxa composta anual de crescimento (CAGR). Seja um investimento em um período de dois anos com taxa de retorno de –10% no primeiro ano e +60% no segundo ano. A taxa de retorno ou a taxa composta anual de crescimento R {\displaystyle R} é obtida pelo cálculo da seguinte equação ( 1 − 10 % ) × ( 1 + 60 % ) = ( 1 − 0 , 1 ) × ( 1 + 0 , 6 ) = ( 1 + R ) × ( 1 + R ) {\displaystyle (1-10\%)\times (1+60\%)=(1-0,1)\times (1+0,6)=(1+R)\times (1+R)} . O valor de R {\displaystyle R} que torna a equação verdadeira é 0,2 (equivalente a 20%), o que significa que o retorno total sobre um investimento em um período de dois anos é igual ao retorno total se houve crescimento de 20% em cada ano. Lembrando que a ordem dos anos não faz diferença (as taxas de retorno de +60% e –10% dariam os mesmos resultados se as taxas de retorno fossem de –10% e +60%).
Média móvel
Dada uma série temporal como os preços diários das ações, deseja-se muitas vezes criar uma série mais suave. Isso ajudar demostrar tendências subjacentes ou comportamentos periódicos dos fenômenos. Uma maneira fácil de fazer isso é escolher um número n {\displaystyle n} e criar uma série por meio do cálculo da média aritmética dos primeiros n {\displaystyle n} valores passo a passo. Sejam p 1 , p 2 , … , p N {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{N}} preços observados. Então, a sequência de média móvel p ¯ i , i = 1 , … , N − n + 1 {\displaystyle {\bar {p}}_{i},i=1,\dots ,N-n+1} é definida como p ¯ i = p i + p i + 1 + ⋯ + p i + n − 1 n {\displaystyle {\bar {p}}_{i}={\frac {p_{i}+p_{i+1}+\dots +p_{i+n-1}}{n}}} . Essa é a forma mais simples de média móvel.
Imagem: fredcavazza · BY-NC-SA · Openverse
Entre outros tipos mais sofisticados de média estão tri-média, tri-mediana e média normalizada. É possível criar uma métrica de média usando uma f-média generalizada: y = f − 1 ( 1 n [ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n ) ] ) {\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)} , em que f {\displaystyle f} é qualquer função inversível. Por exemplo, a média geométrica usando f ( x ) = log ( x ) {\displaystyle f(x)=\log(x)} e a média harmônica usando f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} . Entretanto, o método envolvendo médias generalizadas não é geral o suficiente para abordar todas as médias. Um método mais geral para definir uma média envolve qualquer função g ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {\displaystyle g(x_{1},x_{2},...,x_{n})} contínua, estritamente crescente em cada argumento e simétrica (invariante sob a permutação dos argumentos).
Imagem: fredcavazza · BY-NC-SA · Openverse
Mediana
O número do meio de uma lista de valores em ordem crescente ou decrescente é chamado de mediana (se houver uma quantidade par de valores, a média dos dois números do meio é calculada). Então, para encontra a mediana é preciso ordenar a lista de valores e excluir os maiores e os menores valores até sobrarem um ou dois números. Se sobrar um número, a mediana será ele. Se sobrarem dois números, a mediana será a média aritmética de ambos. Seja a lista de valores 3, 7, 1 e 13. Se a lista de valores for ordenada para 1, 3, 7 e 13 e 1 e 13 forem removidos, sobrarão 3 e 7. Como sobrarão dois valores, a mediana será a média aritmética 3 + 7 2 = 5 {\displaystyle {\frac {3+7}{2}}=5} .
Moda
O número mais frequente em uma lista de valores é chamado de moda. Por exemplo, a moda de uma lista de valores 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 é 3. Em casos em que dois ou mais números aparecem com mesma frequência ou com maior frequência que outros números, não há uma definição acordada de moda. Há autores que afirmam que todos eles são modas e há autores que afirmam que nenhum deles são modas.
