Leonhard Euler
Leonhard Euler, 15 de abril de 1707 – 18 de setembro de 1783) foi um polímata suíço que trabalhou como matemático, físico, astrônomo, lógico, geógrafo, teórico musical e engenheiro. Seu trabalho sobre as pontes de Königsberg está na origem da teoria dos grafos e é considerado precursor da topologia. Fez descobertas em outros ramos da matemática, entre eles a teoria analítica dos números, a análise complexa e o cálculo infinitesimal. Sistematizou o estudo das funções e difundiu parte da terminologia e da notação matemática modernas. Trabalhou também em mecânica, Dinâmica dos fluidos, óptica, astronomia e teoria musical. Lokenath Debnath o chamou de "gênio universal", dotado de imaginação, capacidade intelectual e memória extraordinárias. Passou a maior parte da vida adulta em São Petersburgo e em Berlim, então capital da Prússia.
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Leonhard Euler nasceu em Basileia em 15 de abril de 1707, filho de Paul III Euler, pastor da Igreja Reformada, e de Marguerite Brucker, que descendia de estudiosos dos estudos clássicos. Era o mais velho de quatro filhos. Tinha duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, e um irmão mais novo, Johann Heinrich. Pouco depois de seu nascimento, a família se mudou para Riehen, onde o pai se tornou pastor da igreja local e Leonhard passou a maior parte da infância. O pai, que havia estudado com Jacob Bernoulli na Universidade de Basileia, ensinou matemática a Leonhard desde cedo. Por volta dos oito anos, o menino foi morar com a avó materna e ingressou numa escola de latim em Basileia. Também recebeu aulas particulares de Johannes Burckhardt, jovem teólogo interessado em matemática. Euler entrou na Universidade de Basileia em 1720, aos 13 anos. Ingressar na universidade tão jovem não era incomum na época. As aulas de matemática elementar eram dadas por Johann Bernoulli, irmão mais novo de Jacob, que havia lecionado para o pai de Euler. Johann e Leonhard logo se aproximaram. Na autobiografia, Euler recordou os conselhos do professor:
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Primeira temporada em São Petersburgo (1727–1741)
Daniel e Nicolaus, filhos de Johann Bernoulli, começaram a trabalhar na Academia Imperial de Ciências em São Petersburgo em 1725. Prometeram recomendar Euler quando surgisse uma vaga. Nicolaus morreu de apendicite em 31 de julho de 1726, menos de um ano depois de chegar à Rússia. Daniel assumiu o posto do irmão na divisão de matemática e física e indicou Euler para o cargo de fisiologia que havia deixado. Euler aceitou a oferta em novembro de 1726, mas adiou a viagem enquanto tentava, sem sucesso, tornar-se professor de física em Basileia. Ele chegou a São Petersburgo em maio de 1727. Passou de um posto inicial no departamento médico da academia para o de matemática. Morou com Daniel Bernoulli, com quem trabalhou de perto. Aprendeu russo, adaptou-se à cidade e aceitou também um emprego como médico na Marinha Imperial Russa.
Berlim (1741–1766)
Preocupado com a instabilidade russa, Euler deixou São Petersburgo em junho de 1741 para assumir o posto oferecido por Frederico II na Academia de Berlim. Morou 25 anos em Berlim e escreveu centenas de artigos. Publicou Introductio in analysin infinitorum, sobre funções, em 1748, e Institutiones calculi differentialis, sobre cálculo diferencial, em 1755. Em 1755, foi eleito membro estrangeiro da Academia Real das Ciências da Suécia e da Academia Francesa de Ciências. Entre seus alunos em Berlim estava Stepan Rumovsky, mais tarde tido como o primeiro astrônomo russo. Em 1748, recusou o convite para suceder Johann Bernoulli na Universidade de Basileia. Comprou uma casa em Charlottenburg em 1753 e passou a viver ali com a família e a mãe viúva.
Segunda temporada em São Petersburgo (1766–1783)
Com a ascensão de Catarina, a Grande, a situação política russa se estabilizou. Em 1766, Euler aceitou o convite para retornar à academia de São Petersburgo. Exigiu um salário anual de 3.000 rublos, uma pensão para a esposa e a promessa de cargos elevados para os filhos. Na academia, contou com a colaboração de Anders Johan Lexell. Um incêndio destruiu sua casa em 1771.
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Euler casou-se em 7 de janeiro de 1734 com Katharina Gsell, filha de Georg Gsell, pintor do ginásio da academia em São Petersburgo. Compraram uma casa junto ao rio Neva. Dos treze filhos, cinco chegaram à idade adulta, três homens e duas mulheres. O primogênito, Johann Albrecht Euler, teve Christian Goldbach como padrinho. Johann Heinrich, irmão de Leonhard, instalou-se na cidade em 1735 e trabalhou como pintor na academia. Katharina morreu em 1773. Três anos depois, Euler casou-se com Salome Abigail Gsell, meia-irmã da primeira esposa. Permaneceram casados até a morte dele em 1783. Na juventude, Euler decorou a Eneida, de Virgílio. Na velhice, conseguia recitar o poema e dizer a primeira e a última frase de cada página da edição que estudara. Sabia os cem primeiros números primos e podia dar as potências de cada um até o sexto grau. Era tido como uma pessoa generosa e afável, temperamento que manteve mesmo após perder a visão.
Perda da visão
A visão de Euler piorou ao longo de sua carreira. Em 1738, três anos depois de quase morrer de febre, ficou quase cego do olho direito. Ele atribuiu o problema ao trabalho de cartografia feito para a academia, mas a causa ainda é discutida. Sua visão desse olho continuou a piorar na Alemanha, e Frederico passou a chamá-lo de "ciclope". Euler comentou: "Agora terei menos distrações". Uma catarata foi descoberta no olho esquerdo em 1766. A técnica então usada para deslocar a catarata melhorou temporariamente sua visão, mas complicações o deixaram quase totalmente cego também desse olho. Com a ajuda de escribas, sua produtividade cresceu em muitas áreas. Em 1775, produziu em média um artigo de matemática por semana.
Morte
Em 18 de setembro de 1783 (7 de setembro no calendário juliano), Euler conversou em São Petersburgo com Anders Johan Lexell e Nicolaus Fuss sobre o planeta Urano, descoberto pouco antes. Mais tarde, sofreu uma hemorragia cerebral e morreu naquela noite. Jacob von Staehlin escreveu um breve obituário para a Academia Russa de Ciências. Nicolaus Fuss, discípulo de Euler, compôs um elogio mais longo e o leu numa reunião em sua memória. O matemático e filósofo francês Marquês de Condorcet escreveu para a Academia Francesa: "... il cessa de calculer et de vivre.""... deixou de calcular e de viver." Euler foi sepultado junto de Katharina no Cemitério Luterano de Smolensky, na Ilha de Vassiliev. Em 1837, a Academia Russa de Ciências substituiu a placa de seu túmulo por um monumento. Em 1957, por ocasião dos 250 anos de seu nascimento, os restos mortais foram transferidos para o Cemitério Lazarevskoe, no Mosteiro Alexandre Nevski.
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Euler trabalhou em quase todos os ramos da matemática, entre eles geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, além da mecânica de meios contínuos, da teoria lunar e de outras áreas da física. A edição de suas obras e correspondência reúne oitenta volumes impressos; seus manuscritos ultrapassam 30.000 páginas, em grande parte conservadas na academia de São Petersburgo. Há muitos conceitos com seu nome. Em Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, artigo do volume da academia referente a 1760 e publicado em 1767, Euler formulou, por uma equação de diferenças, um modelo de crescimento geométrico da população com fecundidade e mortalidade constantes. Examinou também as relações entre indicadores demográficos, úteis para estimar valores quando faltavam observações. Cerca de 150 anos depois, Alfred J. Lotka adotou uma abordagem semelhante em três artigos publicados em 1907, 1911, este com F. R. Sharpe, e 1922. Daí surgiu seu modelo de população estável e teve início a modelagem demográfica formal do século XX.
Notação matemática
Euler introduziu e difundiu convenções de notação em livros didáticos que circularam amplamente. Johann Bernoulli já havia definido o conceito de função em 1718; Euler apresentou sua própria definição em 1748 e sistematizou seu estudo. Foi o primeiro a escrever f ( x ) {\displaystyle f(x)} para a função f {\displaystyle f} aplicada ao argumento x {\displaystyle x} . Introduziu também a notação moderna das funções trigonométricas, a letra e {\displaystyle e} para a base do logaritmo natural, a letra grega Σ {\displaystyle \Sigma } para somatórios e i {\displaystyle i} para a unidade imaginária. Popularizou ainda π {\displaystyle \pi } como símbolo da razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, uso iniciado pelo matemático galês William Jones.
Análise
Na análise matemática, o cálculo infinitesimal ocupava o centro da pesquisa matemática do século XVIII. A família Bernoulli, próxima de Euler, havia avançado bastante nesse campo, e o cálculo tornou-se o foco de seu trabalho. Algumas de suas demonstrações, em especial as que dependiam do princípio da generalidade da álgebra, não satisfazem os padrões atuais de rigor matemático. Suas ideias, porém, abriram novos caminhos de investigação. Euler usou e desenvolveu séries de potências, que expressam funções como somas de infinitos termos, como em e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}
Teoria dos números
O interesse de Euler pela teoria dos números foi estimulado por Christian Goldbach, seu amigo na academia de São Petersburgo. Parte de seus primeiros trabalhos nesse campo partiu das ideias de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas delas e refutou outras, entre elas a conjectura de que todos os números de Fermat, da forma 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} , são primos. Ele demonstrou que a série dos inversos dos primos diverge e descobriu uma relação entre os números primos e a função zeta de Riemann, expressa no produto de Euler. Euler introduziu a função totiente de Euler φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} , que conta os inteiros positivos menores ou iguais a n {\displaystyle n} e coprimos com ele. A partir de suas propriedades, generalizou o pequeno teorema de Fermat no que passou a ser chamado teorema de Euler. Estudou os números perfeitos, assunto que intrigava matemáticos desde Euclides. Demonstrou a correspondência entre os números perfeitos pares e os primos de Mersenne, conhecida como teorema de Euclides-Euler. Também conjecturou a lei da reciprocidade quadrática. Suas ideias foram retomadas por Carl Friedrich Gauss, em especial no Disquisitiones Arithmeticae. Até 1772, Euler havia provado que 2 31 − 1 {\displaystyle 2^{31}-1} = 2.147.483.647 é um primo de Mersenne. Talvez tenha permanecido como o maior número primo conhecido até 1867.
Teoria dos grafos
Euler formulou em 1735 uma solução para o problema das sete pontes de Königsberg, publicada em 1741. A cidade prussiana de Königsberg ficava às margens do rio Pregel, que tinha duas ilhas ligadas entre si e à terra firme por sete pontes. A pergunta era se seria possível seguir um trajeto que atravessasse cada ponte exatamente uma vez. Euler mostrou que não: naquele arranjo não existe um caminho euleriano. Sua solução é considerada o primeiro teorema da teoria dos grafos. Ele também encontrou a fórmula V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} , que relaciona o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, por extensão, de um grafo planar. O número obtido é a característica de Euler do grafo, ou de outro objeto matemático, e está relacionado ao gênero desse objeto. O estudo e a generalização da fórmula, em especial por Augustin-Louis Cauchy e Simon Antoine Jean L'Huillier, estão na origem da topologia.
Física, astronomia e engenharia
Euler resolveu problemas físicos por métodos analíticos e descreveu aplicações dos números de Bernoulli, das séries de Fourier, dos números de Euler, das constantes e {\displaystyle e} e π {\displaystyle \pi } , das frações contínuas e das integrais. Reuniu o cálculo diferencial de Leibniz ao método das fluxões de Newton e criou ferramentas para aplicar o cálculo à física. Melhorou a aproximação numérica de integrais com métodos hoje chamados aproximações de Euler, entre eles o método de Euler e a Fórmula Euler–Maclaurin. Euler ajudou a desenvolver o modelo de viga de Euler-Bernoulli. Aplicou suas ferramentas analíticas à mecânica clássica e à astronomia, trabalho pelo qual recebeu repetidos prêmios da Academia de Paris. Calculou com precisão as órbitas de cometas e outros corpos celestes, investigou a natureza dos cometas e calculou a paralaxe solar. Seus cálculos ajudaram a produzir tabelas de longitude mais precisas.
Lógica
Euler usou curvas fechadas em 1768 para representar raciocínios silogísticos. Elas passaram a ser conhecidas como diagramas de Euler. Esses diagramas representam conjuntos e suas relações por curvas fechadas simples, em geral círculos, desenhadas no plano. Cada curva separa uma região interior, que representa os elementos do conjunto, da região exterior, que representa os demais elementos. O tamanho e o formato das curvas não são essenciais. Sua sobreposição ou inclusão mostra relações como interseção, subconjunto e disjunção. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Se os interiores se cruzam, a parte comum representa os elementos compartilhados. Uma curva inteiramente contida em outra representa um subconjunto.
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Euler foi religioso por toda a vida. Suas crenças aparecem nas Cartas a uma princesa alemã e no texto anterior Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister, ou Defesa da revelação divina contra as objeções dos livres-pensadores. Era um cristão devoto e acreditava na inspiração divina da Bíblia. A Rettung defendia sobretudo essa inspiração bíblica. Euler se opunha à monadologia de Gottfried Leibniz e à filosofia de Christian Wolff. Para ele, o conhecimento se fundava em parte em leis quantitativas precisas, que a monadologia e a ciência de Wolff não podiam oferecer. Euler conhecia as críticas de pietistas e teólogos conservadores, que desde a década de 1720 qualificavam a filosofia de Wolff de "pagã e ateia". Uma história sobre seus debates religiosos com filósofos se passa na segunda temporada em São Petersburgo. A convite de Catarina, a Grande, o filósofo francês Denis Diderot visitava a Rússia. A imperatriz, preocupada com a circulação de seus argumentos ateus na corte, teria pedido a Euler que o enfrentasse. Disseram a Diderot que um matemático havia encontrado uma prova da existência de Deus, e ele concordou em ouvi-la. Euler se aproximou e anunciou, com toda a convicção, um non sequitur, argumento cuja conclusão não decorre das premissas:
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Reconhecimento
Euler figura entre os matemáticos mais admirados e provavelmente foi o pesquisador mais produtivo da matemática e das ciências. O matemático e físico John von Neumann chamou-o de "o maior virtuose do período". François Arago disse que "Euler calculava sem esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam no ar". É com frequência situado logo depois de Gauss, Newton e Arquimedes entre os grandes matemáticos, embora alguns o coloquem no mesmo patamar. Henri Poincaré chamou-o de "deus da matemática". André Weil escreveu que nenhum matemático havia ocupado uma posição de liderança tão incontestada em todos os ramos da matemática pura e aplicada quanto Euler durante boa parte do século XVIII:
Homenagens
Euler apareceu na sexta série das notas suíças de dez francos e no projeto de reserva da sétima série. Também figurou em selos postais suíços, alemães e russos. Em 1782, foi eleito membro honorário estrangeiro da Academia de Artes e Ciências dos Estados Unidos. O asteroide 2002 Euler recebeu seu nome.
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Euler publicou muitas obras. Entre seus livros estão: A publicação individual da maior parte das obras póstumas levou até 1830. Em 1862, saiu uma coleção de 61 trabalhos inéditos encontrados por Paul Heinrich von Fuss, bisneto de Euler e filho de Nicolas Fuss. O matemático sueco Gustaf Eneström preparou um catálogo cronológico, publicado entre 1910 e 1913. O índice de Eneström numera as obras de E1 a E866. O Euler Archive foi iniciado no Dartmouth College, passou à Mathematical Association of America e chegou à Universidade do Pacífico em 2017. Em 1907, a Sociedade Helvética de Ciências Naturais decidiu organizar a publicação das obras completas de Euler, trabalho conduzido pela Comissão Euler. Após tentativas anteriores, o primeiro volume da Opera Omnia saiu em 1911. Novos manuscritos continuaram a ser descobertos. Até 2006, haviam sido publicados mais de setenta volumes, com média de 426 páginas. O último volume impresso das obras foi apresentado em 2022, quando a coleção totalizava oitenta volumes em quatro séries: 29 de matemática, 31 de mecânica e astronomia, doze de física e oito de correspondência. A série de correspondência prossegue em formato digital; para os manuscritos, optou-se por uma edição eletrônica. A Comissão Euler, encerrada no fim de 2021, foi sucedida pela Comissão Bernoulli-Euler, ligada à Sociedade Bernoulli-Euler.
