Elipse
Em geometria, uma elipse é um tipo de seção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersete as duas folhas do cone, a interseção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.
Coordenadas cartesianas
Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} B 2 < 4 A C , {\displaystyle B^{2}<4AC,} onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos ( x , y {\displaystyle x,y} ) na elipse, existe. O caso A = C , A ≠ 0 , B = 0 {\displaystyle A=C,A\neq 0,B=0} corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples: ( x − h a ) 2 + ( y − k b ) 2 = 1 , {\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y-k}{b}}\right)^{2}=1,}
Coordenadas polares
Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse: a) Com origem no centro da elipse: r = a b a 2 sen 2 θ + b 2 cos 2 θ {\displaystyle r={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}}} b) Com origem em um dos focos: r = a ( 1 − e 2 ) 1 + e cos θ , {\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }},} sendo e a excentricidade. Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo θ {\displaystyle \theta } é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega ν {\displaystyle \nu } (nu ou ni) { x = h + a . cos ( t ) y = k + b . sen ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&h+a.\cos(t)\\y&=&k+b.\operatorname {sen} (t)\end{matrix}}\right.}
A elipse é o conjunto dos pontos P {\displaystyle P} do plano tais que a soma das distâncias de P {\displaystyle P} a dois pontos fixos F 1 e F 2 {\displaystyle F_{1}~e~F_{2}} (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica. Ou seja, se d i s t ( F 1 , F 2 ) = 2 c , {\displaystyle dist(F_{1},F_{2})=2c,} então a elipse é o conjunto dos pontos P {\displaystyle P} tais que d i s t ( P , F 1 ) + d i s t ( P , F 2 ) = 2 a {\displaystyle dist(P,F_{1})+dist(P,F_{2})=2a} em que a > c {\displaystyle a>c} (no caso especial do círculo, os pontos F 1 e F 2 {\displaystyle F_{1}~e~F_{2}} coincidem então c = 0 e a = r , {\displaystyle c=0~e~a=r,} com r {\displaystyle r} sendo o raio do círculo). A excentricidade da elipse é definida por e = c a . {\displaystyle e={\frac {c}{a}}.} A excentricidade também pode ser calculada pelo ângulo característico ( α {\displaystyle \alpha } ) da elipse.
Características
A B ¯ = 2 a = Eixo Maior, {\textstyle {\overline {AB}}=2a={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Maior,}}} C D ¯ = 2 b = Eixo Menor, {\textstyle {\overline {CD}}=2b={\textrm {Eixo}}\ {\textrm {Menor,}}} F 1 F 2 ¯ = 2 c = Distancia Focal. {\textstyle {\overline {F_{1}F_{2}}}=2c={\textrm {Distancia}}\ {\textrm {Focal.}}} O centro da elipse é ponto O = ( 0 , 0 ) {\displaystyle O=(0,0)} . Os focos da elipse encontram-se nos pontos: F 1 = ( − c , 0 ) e F 2 = ( c , 0 ) . {\displaystyle F_{1}=(-c,0)\ {\textrm {e}}\ F_{2}=(c,0).} Temos, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo C O F 2 {\displaystyle COF_{2}} (ou ao C O F 1 , {\displaystyle COF_{1},} ou ainda ao D O F 2 {\displaystyle DOF_{2}} ), que:
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A área de uma elipse com semieixo maior a {\displaystyle a} e semieixo menor b {\displaystyle b} é igual a π a b {\displaystyle \pi ab} (semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais ( a = b = r ) , {\displaystyle (a=b=r),} ficamos então com um círculo de raio r . {\displaystyle r.} Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo: π a b = π r r = π r 2 . {\displaystyle \pi ab=\pi rr=\pi r^{2}.}
A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto. Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.
Particularidades
Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco. Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsoide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No Capitólio dos Estados Unidos há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.
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A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.
