Décimo-terceiro problema de Hilbert

A motivação de Hilbert era a nomografia. Na nomografia, equações são resolvidas de forma gráfica, através do desenho de famílias de curvas de um parâmetro, o que, matematicamente, equivale a resolver estas equações através de funções de um argumento, e as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão. Toda equação em duas variáveis podia ser resolvida pela nomografia. Analogamente, as equações até o sexto grau também podiam, porque, no caso das que são solúveis por radicais, a solução é imediata, pois a extração de raízes pode ser feita pela nomografia, e as equações do quinto e sexto grau podem ser reduzidas, através de métodos que envolvem apenas a extração de raízes, a equações que dependem apenas de duas variáveis. Para a equação do sétimo grau, porém, a simplificação resulta em uma equação, na variável f, do tipo: e Hilbert conjecturou que esta equação não poderia ser resolvida com a ajuda de funções contínuas de dois argumentos.

A solução do problema foi dada por Andrei Kolmogorov e Vladimir Arnold, em 1957, que demonstraram uma forma ainda mais genérica da proposta, a saber:

A essência do problema é a pergunta sobre se existem verdadeiras funções multivaridas, ou se as funções multivariadas são apenas uma superposição de funções univariadas e a soma. O que Kolmogorov e Arnold demonstraram, neste sentido, foi que a única função realmente multivariada é a soma, já que qualquer outra pode ser escrita usando-se funções univariadas e a soma.