Pi
O número π é uma constante matemática que é razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159. Ele aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. É um número irracional, que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, embora frações como 22/7 são comumente utilizadas para aproximar o seu valor. Consequentemente, sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repete infinitamente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação algébrica que envolva apenas uma quantidade finita de somas, produtos, potências e coeficientes inteiros. Este último fato implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de π são aparentemente distribuídos aleatoriamente, mas nenhuma prova para essa conjectura foi encontrada.
Qualquer número complexo z pode ser expresso utilizando um par de números reais. No sistema de coordenadas polares, um número (raio ou r) é utilizado para representar a distância de z da origem do plano complexo, e o outro (ângulo ou φ) é a rotação do eixo dos positivos reais: z = r ⋅ ( cos φ + i sen φ ) , {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\operatorname {sen} \varphi ),} onde i é a unidade imaginária que satisfaz i2 = −1. A frequente aparição de π na análise complexa pode ser relacionada ao comportamento da função exponencial de uma variável complexa, descrita pela fórmula de Euler e i φ = cos φ + i sin φ , {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,} onde e é a base do logaritmo natural. Esta fórmula estabelece uma correspondência entre as potências imaginárias de e e pontos no círculo unitário centrado na origem do plano complexo. Quando φ = π, o resultado é a identidade de Euler, considerado uma beleza da matemática por mostrar uma profunda conexão entre cinco importantes constantes matemáticas: e i π + 1 = 0. {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}
Nome
O símbolo utilizado pelos matemáticos para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro é a letra grega π minúscula, às vezes escrito como pi. Em português, π é pronunciado como [pi]. Em usos matemáticos, a letra π minúscula é diferenciada de sua forma maiúscula Π, utilizada para denotar o produtório, análogo a como Σ é utilizado para denotar o somatório. A escolha do símbolo π é discutida na seção § Adoção do símbolo π.
Definição
π é comumente definido como a razão do comprimento C de uma circunferência pelo seu diâmetro d: π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} A razão C d {\textstyle {\frac {C}{d}}} é constante, independente do tamanho da circunferência. Por exemplo, se uma circunferência possui o dobro do diâmetro de outra circunferência, o seu comprimento também será o dobro, preservando a razão mencionada. Esta definição de π implica o uso de geometria (euclidiana) plana; por mais que a noção de circunferência possa ser estendida para qualquer geometria (não euclidiana) curva, esses não satisfazem a fórmula π = C d {\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}} . Aqui, o comprimento de uma circunferência é o comprimento do arco ao redor do perímetro da circunferência. Esta quantidade pode ser formalmente definida independentemente da geometria utilizando limites — um conceito do cálculo. Por exemplo, pode-se calcular diretamente o comprimento do arco da metade superior da circunferência unitária, dado em coordenadas cartesianas pela equação x2 + y2 = 1, como a integral: π = ∫ − 1 1 d x 1 − x 2 . {\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Irracionalidade e normalidade
π é um número irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Frações como 22/7 e 355/113 são usualmente utilizadas para aproximar π, mas nenhuma fração comum (razão entre dois números inteiros) pode expressar seu exato valor. Visto que π é irracional, ele possui um número infinito de dígitos em sua representação decimal, e não é uma dízima periódica. Há diversas provas da irracionalidade de π; elas geralmente requerem cálculo e utilizam a técnica de redução ao absurdo. O grau no qual π pode ser aproximado por números racionais (chamado de medida de irracionalidade) não é precisamente conhecido; é estimado que seja maior que a medida de e ou ln 2, mas menor que a medida dos números de Liouville.
Transcendência
Em adição de ser irracional, π também é um número transcendente, o que significa que não é a solução de nenhuma equação polinomial não constante com coeficientes racionais, como x 5 120 − x 3 6 + x = 0 {\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0} .[nota 3] A transcendência de π tem duas importantes consequências: a primeira é que π não pode ser expresso utilizando uma combinação finita de raízes quadradas ou raízes n-ésimas (como 31 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}} ou 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}} ). A segunda é que, como não é possível construir [en] números transcendentes com régua e compasso, a quadratura do círculo é impossível. Noutras palavras, é impossível construir, utilizando apenas régua e compasso, um quadrado cuja área é exatamente igual à área de um dado círculo. A quadratura do círculo era um dos importantes problemas da Antiguidade Clássica. Matemáticos amadores da modernidade às vezes tentam quadrar o círculo e reivindicam sucesso — mesmo sendo de fato algo matematicamente impossível.
Frações contínuas
Como é irracional, π não pode ser representado como uma fração comum. Mas todo número, incluindo π, pode ser representado como uma série infinita de frações uma dentro da outra, chamada de fração contínua: π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} Truncando a fração contínua em qualquer ponto produz uma aproximação racional para π; as quatro primeiras são 3, 22/7, 333/106, e 355/113. Estes números estão entre as aproximações históricas mais conhecidas e mais amplamente utilizadas da constante. Cada aproximação gerada desta forma se aproxima cada vez mais de π; ou seja, cada fração é mais próxima de π que uma de denominador igual ou menor. Visto que π é transcendente, por definição não é algébrico e não pode ser um irracional quadrático. Portanto, não há uma fração contínua periódica para π. Por mais que frações contínuas simples (com apenas 1 nos numeradores, mostrada acima) não demonstrem nenhum padrão óbvio, diversas frações contínuas generalizadas apresentam, como, por exemplo: π = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}
Antiguidade
As aproximações mais conhecidas de π datadas do primeiro milênio a.C. tinham uma precisão de duas casas decimais; isto foi aperfeiçoado pelos matemáticos chineses, em particular na metade do primeiro milênio, a com precisão de sete casas decimais. Após isso, nenhum progresso adicional foi feito até o final do período medieval. As primeiras aproximações de π foram encontradas na Babilônia e Egito, ambas com um por cento de diferença do valor verdadeiro. Na Babilônia, uma Tábua de argila datada de 1900–1600 a.C. tem uma afirmação geométrica que, por implicação, trata π como 25/8 = 3,125. No Egito, o Papiro de Rhind, datado de aproximadamente 1650 a.C., mas copiada de um documento datado de 1850 a.C., tinha uma fórmula para a área do círculo que considerava π como ( 16 9 ) 2 ≈ 3 , 16 {\textstyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16} . Alguns piramidologistas teorizaram que a Grande Pirâmide de Gizé possui proporções relacionadas com π, mas essa teoria não é amplamente aceita pelos estudiosos. Nos Shulba Sutras dos matemáticos indianos, datando uma tradição oral do primeiro ou segundo milênio a.C., são fornecidas aproximações interpretadas de várias maneiras como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.
Era da aproximação por polígonos
O primeiro registro de um algoritmo para calcular rigorosamente o valor de π foi uma abordagem geométrica usando polígonos, desenvolvido por volta de 250 a.C. pelo matemático grego Arquimedes, implementando o método da exaustão. Este algoritmo poligonal dominou por mais de mil anos, e, como resultado, π às vezes é referido como a constante de Arquimedes. Arquimedes computou as cotas superior e inferior de π ao desenhar um hexágono dentro e fora de uma circunferência, e dobrando sucessivamente o número de lados até alcançar um polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros desses polígonos, ele provou que 223/71 < π < 22/7 (isto é, 3,1408 < π < 3,1429). A cota superior de Arquimedes de 22/7 pode ter causado a crença popular generalizada de que π é igual a 22/7. Por volta de 150 d.C., o cientista greco-romano Ptolomeu, em Almagesto, deu o valor de 3,1416 a π, que ele pode ter obtido de Arquimedes ou de Apolônio de Perga. Matemáticos alcançaram 39 dígitos de π usando algoritmos poligonais em 1630, um recorde foi batido em 1699, quando foi utilizada uma série infinita para alcançar 71 dígitos de π.
Séries infinitas
O cálculo de π foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. Séries infinitas possibilitou que matemáticos computassem π com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que utilizaram técnicas geométricas. Apesar de séries infinitas terem sido mais exploradas para π por matemáticos europeus, como James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz, a abordagem também apareceu na escola de Querala em algum momento do século XIV ou XV. Em torno de 1500 d.C., uma descrição escrita de uma série infinita que poderia ser utilizada para computar π foi deixada em verso sânscrito em Tantrasamgraha por Nilakantha Somayaji. As séries foram apresentadas sem provas, mas elas foram apresentadas numa obra posterior, Yuktibhāṣā, em torno de 1530 d.C. Diversas séries infinitas são descritas, incluindo séries para seno (que Nilakantha atribui a Madhava de Sangamagrama), cosseno e arco tangente. Madhava usou uma série infinita para estimar 11 dígitos de π por volta de 1400.
Irracionalidade e transcendência
Nem todos os avanços relacionados a π tinham como objetivo aumentar a precisão das aproximações. Quando Euler resolveu o problema de Basileia em 1735, encontrando o valor exato da soma dos inversos dos quadrados, estabeleceu uma conexão entre π e os números primos que posteriormente contribuiu para o desenvolvimento e estudo da função zeta de Riemann: π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } O cientista suíço Johann Heinrich Lambert provou em 1768 que π é irracional, o que significa que não é igual a nenhuma razão entre dois inteiros. A prova de Lambert explorou uma representação em fração contínua da função tangente. O matemático francês Adrien-Marie Legendre provou em 1794 que π2 também é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendente, confirmando a conjectura feita por Legendre e Euler. Posteriormente, Hilbert, Hurwitz e outros autores modificaram e simplificaram as provas.
Adoção do símbolo π
O primeiro registro do uso do símbolo π na geometria da circunferência é em Clavis Mathematicae (1648) de Oughtred, em que as letras gregas π e δ eram combinadas na fração π δ {\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}} para denotar as razões entre semiperímetro e semidiâmetro e entre perímetro e diâmetro, ou seja, o que atualmente é denotado como π. (Até então, matemáticos utilizavam às vezes letras como c ou p.) Semelhantemente, Barrow utilizou a mesma notação, enquanto Gregory utilizou " π ρ {\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}} " para representar 6,28... O primeiro uso da letra grega π sozinha para representar a razão do comprimento de uma circunferência ao seu diâmetro foi pelo matemático galês William Jones em sua obra de 1706 Synopsis palmariorum matheseos. A letra grega aparece na frase " 1/2 Periphery (π)" na página 243, calculado para uma circunferência de raio um. No entanto, Jones escreve que suas equações para π são "do verdadeiramente engenhoso Sr. John Machin", levando à especulação de que Machin pode ter empregado a letra grega antes de Jones. A notação de Jones não foi imediatamente adotada pelos outros matemáticos, com a fração ainda sendo utilizada até 1767.
Era da computação e algoritmos iterativos
O algoritmo iterativo de Gauss–Legendre:Inicie a 0 = 1 , b 0 = 1 2 , t 0 = 1 4 , p 0 = 1. {\displaystyle \textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.} Itere a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n , {\displaystyle \textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},} t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n . {\displaystyle \textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.} Então uma estimativa para π é dada por π ≈ ( a n + b n ) 2 4 t n . {\displaystyle \textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}
Motivos para computar π
Para a maioria dos cálculos numéricos envolvendo π, apenas alguns dígitos fornecem precisão suficiente. Conforme Jörg Arndt e Christoph Haenel, 39 dígitos são suficientes para realizar a maioria dos cálculos cosmológicos, pois esta é a precisão necessária para calcular o volume do universo observável com a precisão de um átomo. Contabilizando dígitos adicionais necessários para compensar erro de arredondamento computacional, Arndt conclui que umas poucas centenas de dígitos de π seriam suficientes para qualquer aplicação científica. Embora o especialista da NASA Marc Rayman esclareça que, para as aplicações nos cálculos aeroespaciais da agência norte-americana, sejam usados 15 dígitos nas casas decimais, dando uma precisão estimada na circunferência atingida pela sonda Voyager I (48 bilhões de quilômetros arredondados, em 2022) com margem de erro na largura de um dedo mínimo. Apesar disso, pessoas trabalharam vigorosamente para computar milhares e milhões de dígitos. Este esforço pode ser parcialmente atribuído à compulsão humana de quebrar recordes e tais conquistas com π costumam ser manchetes em todo o mundo. Também há benefícios práticos, como testar supercomputadores, testar algoritmos de análise numérica (incluindo algoritmos de multiplicação de alta precisão); e na própria matemática pura, prover dados para analisar a aleatoriedade dos dígitos de π.
Séries de rápida convergência
Calculadoras modernas de π não usam exclusivamente algoritmos iterativos. Novas séries infinitas foram descobertas nas décadas de 1980 e 1990 que eram tão rápidas quanto algoritmos iterativos, porém mais simples e utilizando menos memória. Os algoritmos iterativos rápidos foram antecipados em 1914, quando o matemático indiano Srinivāsa Rāmānujan publicou dezenas de novas fórmulas inovadoras para π, notável pela sua elegância, profundidade matemática e rápida convergência. Uma de suas fórmulas, baseada nas equações modulares, é 1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) k ! 4 ( 396 4 k ) . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}
Métodos de Monte Carlo
Métodos de Monte Carlo, que avaliam os resultados de vários ensaios aleatórios, podem ser utilizados para criar uma aproximação de π. A Agulha de Buffon é uma dessas técnicas: se uma agulha de comprimento ℓ é largada n vezes numa superfície na qual possui retas paralelas desenhadas separadas por t unidades de comprimento, e se x é a quantidade de vezes que a agulha fica sobre a retas (x > 0), então pode-se aproximar π com base nas contagens: π ≈ 2 n ℓ x t . {\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.} Outro método de Monte Carlo para calcular π é desenhar uma circunferência inscrita num quadrado e aleatoriamente colocar pontos no quadrado. A razão de pontos na região interna da circunferência é aproximadamente igual a π/4.
Algoritmos de extração de dígitos
Dois algoritmos foram descobertos em 1995 que abriram novos caminhos de pesquisa do π. Eles são chamados de algoritmos de extração de dígitos [en], também conhecidos como spigot algorithms (lit. "algoritmo de torneira"), que assim como a água gotejando de uma torneira, eles produzem dígitos individuais de π que não são reutilizados após serem calculados. Esse método é um contraste em comparação às séries infinitas ou algoritmos iterativos, que retêm e utilizam todos os dígitos intermediários até o resultado final ser produzido. Os matemáticos Stan Wagon e Stanley Rabinowitz produziram um algoritmo de extração de dígitos simples em 1995. A sua velocidade é comparável aos algoritmos de arco tangente, mas não é tão rápida quanto algoritmos iterativos.
Pelo fato de π estar intimamente relacionado à circunferência, é encontrado em diversas fórmulas geométricas e trigonométricas, principalmente aquelas relacionadas a circunferências, esferas ou elipses. Outras áreas das ciências, como estatística, física, análise de Fourier e teoria dos números também incluem π em algumas fórmulas importantes. A constante π aparece na fórmula de Gauss–Bonnet, que relaciona a geometria diferencial de superfícies à sua topologia. Especificamente, se uma superfície compacta Σ tem curvatura gaussiana K, então ∫ Σ K d A = 2 π χ ( Σ ) {\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )} onde χ(Σ) é a característica de Euler, na qual é um inteiro. Um exemplo é a área da superfície de uma esfera S de curvatura 1 (então seu raio de curvatura, no qual coincide com seu raio, também é 1). A característica de Euler de uma esfera pode ser computada de seus grupos de homologia e encontra-se que é igual a dois. Portanto, temos A ( S ) = ∫ S 1 d A = 2 π ⋅ 2 = 4 π {\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi } reproduzindo a fórmula para a área da superfície de uma esfera de raio 1.
Geometria e trigonometria
π aparece em fórmulas para áreas e volumes de figuras geométricas baseadas na circunferência, como elipses, esferas, cones e toros. Abaixo estão algumas das fórmulas mais comuns que envolvem π. Algumas das fórmulas acima são casos especiais do volume de uma bola n-dimensional e a área da superfície é a área de seu contorno, a esfera (n − 1)-dimensional, dado em § Função gama e fórmula de Stirling. Além de circunferências, existem curvas de largura constante. Pelo teorema de Barbier, toda curva de largura constante tem o perímetro de π vezes sua largura. O triângulo de Reuleaux (formado pela intersecção de três círculos com os lados de um triângulo equilátero como seus raios) tem a menor área possível para sua largura e a circunferência a maior. Existem também curvas suaves e até mesmo algébricas não circulares de largura constante.
Unidades de ângulo
As funções trigonométricas dependem dos ângulos, e matemáticos geralmente utilizam radianos como unidade de medida. π tem um papel importante nos ângulos medidos em radianos, o qual é definido que um círculo completo abrange o ângulo de 2π radianos. O ângulo de medida 180° é igual a π, e 1° = π/180 radianos. Funções trigonométricas comuns possuem períodos múltiplos de π; por exemplo, o período das funções seno e cosseno é 2π, então para qualquer ângulo θ e qualquer inteiro k, sen θ = sen ( θ + 2 π k ) e cos θ = cos ( θ + 2 π k ) . {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen} \left(\theta +2\pi k\right){\text{ e }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}
Autovalores
Várias das aparições de π nas fórmulas matemáticas e das ciências são devido à sua relação íntima com a geometria. No entanto, π também aparece em situações naturais que aparentemente não possuem nenhuma relação com a geometria. Em diversas aplicações, ele possui um papel distinto como um autovalor. Por exemplo, uma corda vibrando pode ser modelada como o gráfico de uma função f no intervalo unitário [0, 1], com os extremos fixos f(0) = f(1) = 0. Os modos de vibração da corda são soluções da equação diferencial f ″ ( x ) + λ f ( x ) = 0 {\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0} , ou f ″ ( t ) = − λ f ( x ) {\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)} . Portanto, λ é um autovalor da segunda derivada do operador f ↦ f ″ {\displaystyle f\mapsto f''} , e é restrito a apenas alguns certos valores pela teoria de Sturm-Liouville. Ele deve ser positivo, já que o operador é negativa definida, então é conveniente escrever que λ = ν2, onde ν > 0 é chamado de número de onda. Então f(x) = sen(π x) satisfaz as condições da fronteira e a equação diferencial com ν = π.
Desigualdades
A serventia do número π que aparece nos problemas de autovalores ocorre semelhantemente na análise de dimensões superiores. Como mencionado em § Definição, ele pode ser definido pelo seu papel de melhor constante na desigualdade isoperimétrica: A área A envolvida por uma curva de Jordan plana de perímetro P satisfaz a desigualdade 4 π A ≤ P 2 , {\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},} e a igualdade é claramente atingida pela circunferência, visto que neste caso A = πr2 e P = 2πr. Em última análise, como consequência da desigualdade isoperimétrica, π aparece como a constante ótima para a desigualdade de Sobolev crítica em n dimensões, que também caracteriza o papel de π em diversos fenômenos físicos, como, por exemplo, aqueles da teoria do potencial clássica. Em duas dimensões, a desigualdade de Sobolev crítica é 2 π ‖ f ‖ 2 ≤ ‖ ∇ f ‖ 1 {\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}} para uma função suave f com o suporte compacto em R2, ∇ f {\displaystyle \nabla f} é o gradiente de f, e ‖ f ‖ 2 {\displaystyle \|f\|_{2}} e ‖ ∇ f ‖ 1 {\displaystyle \|\nabla f\|_{1}} referem-se respectivamente à norma L2 e L1. A desigualdade de Sobolev é equivalente à desigualdade isoperimétrica (em qualquer dimensão), com as mesmas constantes ótimas.
Transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg
A constante π também aparece como um parâmetro espectral crítico na transformada de Fourier. Esta é a transformada integral que pega uma função integrável de valores complexos f na reta real para a função definida como: f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.} Por mais que haja várias convenções para a transformada de Fourier e sua inversa, qualquer convenção deve envolver π em algum lugar. A operação em L2 que também é um homomorfismo de L1 para L∞. O princípio da incerteza de Heisenberg também contém o número π. o princípio da incerteza fornece uma cota inferior nítida sobre até que ponto é possível localizar uma função tanto no espaço quanto na frequência: com nossas convenções para a transformada de Fourier, ( ∫ − ∞ ∞ x 2 | f ( x ) | 2 d x ) ( ∫ − ∞ ∞ ξ 2 | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ ) ≥ ( 1 4 π ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x ) 2 . {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}
Integral Gaussiana
Os campos da probabilidade e estatística frequente usam a distribuição normal como um modelo simples para fenômenos complexos; por exemplo, cientistas geralmente assumem que o erro observacional na maioria dos experimentos segue uma distribuição normal. A função de Gauss, a qual é a função densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e desvio padrão σ, contém π: f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) . {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.} O fator de 1 2 π {\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}} faz com que a área sob o gráfico de f seja igual a um, como um requisito para a distribuição de probabilidade. Isto segue de uma mudança de variável da integral Gaussiana ∫ − ∞ ∞ e − u 2 d u = π , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }},} que diz que uma curva em forma de sino básica, como na figura, é igual à raiz quadrada de π.
Descrever fenômenos físicos
Apesar de não ser uma constante física, π aparece rotineiramente em equações descrevendo princípios fundamentais do universo, geralmente devido à relação de π com a circunferência e ao sistema esférico de coordenadas. Uma fórmula simples do campo da mecânica clássica dá o período T aproximado de um pêndulo simples de comprimento L, balançando com uma pequena amplitude (g é a aceleração gravitacional da Terra): T ≈ 2 π L g . {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.} Uma das fórmulas-chave da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, que mostra que a incerteza da posição de uma partícula (Δx) e momento linear (Δp) não pode ser ambas arbitrariamente pequenas ao mesmo tempo (onde h é a constante de Planck): Δ x Δ p ≥ h 4 π . {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}
Memorizar dígitos
Pifilologia é a prática de memorizar um grande número de dígitos de π. e recordes mundiais são mantidos pelo Guinness World Records. O recorde de memorizar dígitos de π, certificado pelo Guinness World Records, é de 70 mil dígitos, recitado na Índia por Rajveer Meena em 9 horas e 27 minutos em 21 de março de 2015. Em 2006, Akira Haraguchi, um engenheiro japonês aposentado, alegou ter recitado cem mil casas decimais, mas a afirmação não foi verificada pelo Guinness World Records. Uma técnica comum é memorizar uma história ou poema que a quantidade de letras da palavra representa os dígitos de π: a primeira palavra possui três letras, a segunda tem uma, a terceira tem quatro, a quarta tem uma, a quinta tem cinco, e assim por diante. Tais auxiliares de memorização são chamados de mnemônicos.
Na cultura popular
Talvez devido à sua simplicidade de sua definição e sua onipresença em fórmulas, π se representou na cultura popular mais do que qualquer outra construção matemática. No museu científico Palais de la découverte, em Paris, há uma sala circular conhecida como sala do pi. Em suas paredes estão escritos 707 dígitos de π. Os dígitos são grandes caracteres de madeira preso ao teto em forma de cúpula. Os dígitos foram baseados num cálculo de 1873 pelo matemático inglês William Shanks, que inclui um erro no 528.º dígito. O erro foi detectado em 1946 e corrigido em 1949. No romance Contact de 1985 de Carl Sagan é sugerido que o criador do universo enterrou uma mensagem nas profundidades dos dígitos de π. Esta parte da história foi omitida na adaptação em filme do romance. Os dígitos de π também foram incorporados nas letras da música "Pi" do álbum Aerial de Kate Bush. No episódio "Wolf in the Fold" de 1967 de Star Trek, um computador fora de controle foi contido ao ser instruído para "computar o último dígito do valor de π".
