Conjunto conexo
Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele.
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Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que A ∩ E ≠ ∅ {\displaystyle A\cap E\neq \emptyset } , B ∩ E ≠ ∅ {\displaystyle B\cap E\neq \emptyset } e E ⊂ A ∪ B {\displaystyle E\subset A\cup B} . Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições: Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} representa o fecho do conjunto A. Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.
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Teorema 1
Dados dois conjuntos B e C, então B ¯ ∩ C = C ¯ ∩ B = ∅ {\displaystyle {\bar {B}}\cap C={\bar {C}}\cap B=\emptyset } se e somente se existem F e G abertos tais que B ⊂ F {\displaystyle B\subset F} , C ⊂ G {\displaystyle C\subset G} e F ∩ G = ∅ {\displaystyle F\cap G=\emptyset } .
Teorema 2
Um subconjunto E da reta real R {\displaystyle \mathbb {R} } é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se x ∈ E {\displaystyle x\in E} , y ∈ E {\displaystyle y\in E} e x < z < y {\displaystyle x<z<y} , então z ∈ E {\displaystyle z\in E} . Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.
Teorema 3
A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).
Teorema 5
O produto cartesiano de espaços métricos M = M 1 × ⋯ × M n {\displaystyle M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}} é conexo se, e somente se, cada fator M i {\displaystyle M_{i}} é conexo.
