Comprimento da circunferência
Em geometria, o comprimento da circunferência é o perímetro de uma circunferência ou elipse. A circunferência é o comprimento do arco do círculo, como se ele fosse aberto e endireitado em um segmento de reta. De maneira geral, o perímetro é o comprimento da curva em torno de qualquer figura fechada.
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O comprimento de um círculo é a distância ao redor dele, mas se, como em muitos tratamentos elementares, a distância for definida em termos de linhas retas, isso não poderá ser usado como definição. Nessas circunstâncias, a circunferência de um círculo pode ser definida como o limite dos perímetros de polígonos regulares inscritos à medida que o número de lados aumenta sem limites. O termo comprimento da circunferência é usado ao medir objetos físicos, bem como ao considerar formas geométricas abstratas.
Relação com π
O comprimento de uma circunferência está relacionada a uma das mais importantes constantes matemáticas. Essa constante, pi, é representada pela letra grega π. Os primeiros dígitos decimais do valor numérico de π são 3,141592653589793... Pi é definido como a razão do comprimento C de uma circunferência em relação ao seu diâmetro d: π = C d . {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.} Ou, equivalentemente, como a razão entre a circunferência e o dobro do raio. A fórmula acima pode ser reorganizada para isolar C: C = π ⋅ d = 2 π ⋅ r . {\displaystyle {C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!} A razão entre o comprimento da circunferência e seu raio é chamada de constante do círculo e é equivalente a 2π. O valor 2π também é a quantidade de radianos em uma volta. O uso da constante matemática π é onipresente na matemática, na engenharia e na ciência.
A noção de perímetro pode ser generalizada para elipses. Não existe uma fórmula geral para o comprimento de uma elipse em termos dos semieixos maior e menor da elipse que use apenas funções elementares. Entretanto, há fórmulas aproximadas em termos desses parâmetros. Uma dessas aproximações, devida a Euler (1773), para a elipse canônica, x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} é C e l i p s e ∼ π 2 ( a 2 + b 2 ) . {\displaystyle C_{\rm {elipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.} Alguns limites inferiores e superiores do comprimento da elipse canônica com a ≥ b são: 2 π b ≤ C ≤ 2 π a , {\displaystyle 2\pi b\leq C\leq 2\pi a,} π ( a + b ) ≤ C ≤ 4 ( a + b ) , {\displaystyle \pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),} 4 a 2 + b 2 ≤ C ≤ π 2 ( a 2 + b 2 ) . {\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.} Aqui, o limite superior 2πa é o comprimento de um círculo concêntrico circunscrito passando pelos pontos finais do eixo maior da elipse, e o limite inferior 4 a 2 + b 2 {\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} é o perímetro de um losango inscrito com vértices nos pontos finais dos eixos maior e menor.
