Cofinalidade

Seja α > 0 {\displaystyle \alpha >0} um ordinal limite. Uma sequência crescente ⟨ α ξ : ξ < β ⟩ {\displaystyle \left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle } , com β {\displaystyle \beta } ordinal limite é dita cofinal com α {\displaystyle \alpha } se lim ξ → β α ξ = α {\displaystyle {\mbox{lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha } . De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite α > 0 {\displaystyle \alpha >0} como um ordinal limite β {\displaystyle \beta } : c f ( α ) = o menor ordinal limite β tal que existe uma β -sequência ⟨ α ξ : ξ < β ⟩ com lim ξ → β α ξ = α {\displaystyle {\mathit {cf}}\left(\alpha \right)={\mbox{o menor ordinal limite }}\beta {\mbox{ tal que existe uma }}\beta {\mbox{-sequência }}\left\langle \alpha _{\xi }:\xi <\beta \right\rangle {\mbox{ com lim}}_{\xi \rightarrow \beta }\;\;\alpha _{\xi }=\alpha } .

O conjunto dos números naturais, N {\displaystyle \mathbb {N} } é cofinal com o conjunto dos números reais, R {\displaystyle \mathbb {R} } , com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , existe um número natural n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , tal que x ≤ n {\displaystyle x\leq n} . Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , também é cofinal com R {\displaystyle \mathbb {R} } e todos esses conjuntos tem cofinalidade ω {\displaystyle \omega } . O ordinal ω + ω {\displaystyle \omega +\omega } tem cofinalidade ω {\displaystyle \omega } , cf( ω + ω {\displaystyle \omega +\omega } )= ω {\displaystyle \omega } , pois segundo a definição geral, ω {\displaystyle \omega } é cofinal com ω + ω {\displaystyle \omega +\omega } e ℵ 0 = ω {\displaystyle \aleph _{0}=\omega } . Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a ω -sequência {\displaystyle \omega {\mbox{-sequência}}}

A cofinalidade tem as seguintes propriedades: