Centro de massa
Em física, o centro de massa é o ponto hipotético onde toda a massa de um sistema físico está concentrada e que se move como se todas as forças externas estivessem sendo aplicadas nesse ponto.
Inicialmente, o conceito de centro de massa foi apresentado na forma de centro de gravidade na Grécia Antiga por Arquimedes de Siracusa, engenheiro, físico e matemático. Isso se deve por que o centro de massa em um objeto é o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. Trabalhando em campo gravitacional uniforme, ele demonstrou que o torque exercido em uma alavanca sempre seria o mesmo se, mudando as posições dos objetos, o centro de massa permanecesse fixo. Já em seu trabalho com corpos flutuantes, Arquimedes descobriu que a posição e orientação de um objeto na superfície de um fluido é aquela onde o centro de massa tende a ficar na posição mais baixa possível. Além dessas descobertas, ele desenvolveu técnicas matemáticas para definir o centro de massa de diversos objetos de densidade uniforme.[nota 1]
Antes de se iniciar o processo, é necessário compreender que o centro de massa será o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. O experimento só terá efeito nesse caso. O centro de massa de um corpo de densidade uniforme estará localizado em seu eixo de simetria. Para encontrar o centro de massa de um objeto plano – como uma placa metálica ou um quadro – deve-se pendurá-lo em dois pontos diferentes, sendo que, em cada etapa, deve-se traçar uma linha reta vertical do ponto de suspensão até a base do objeto. Dessa forma, as duas linhas traçadas se encontrarão em um ponto comum, sendo esse o centro de massa do objeto. Para um objeto com um formato complexo – aqueles ainda planos, mas sem uma forma geométrica definida conhecida – é possível encontrar o centro de massa subdividindo-o em pequenas partes mais simples, sendo que, se for possível encontrar a massa total e o centro de massa de cada parte, então o centro de massa do objeto será a média de suas partes.
Para definir o centro de massa (CM) de um sistema de partículas deve-se considerar três tipos de variáveis desse sistema: o número de partículas que o compõem, a massa e a posição de cada partícula. Podemos deduzir a equação geral da definição do Centro de Massa a partir de um sistema simples de apenas duas partículas.
Sistema com duas partículas
Dadas duas partículas de massa m 1 {\displaystyle m_{1}} e m 2 {\displaystyle m_{2}} separadas por uma distância d {\displaystyle d} , estabelece-se arbitrariamente a origem do eixo x como a posição da partícula de massa m 1 {\displaystyle m_{1}} . A posição do centro de massa (CM) desse sistema de duas partículas pode ser definida como: Se m 2 = 0 {\displaystyle m_{2}=0} , existe apenas uma partícula m 1 {\displaystyle m_{1}} e o centro de massa deve estar na posição dessa partícula m 1 {\displaystyle m_{1}} uma vez que x c m {\displaystyle x_{cm}} será igual a zero. Se m 1 = 0 {\displaystyle m_{1}=0} , o sistema apresenta apenas uma partícula (de massa m 2 {\displaystyle m_{2}} ). A posição x c m {\displaystyle x_{cm}} desta partícula será igual a d {\displaystyle d} .
Sistema com n partículas
Considerando um sistema com o número n de partículas, podemos definir de forma geral o Centro de Massa a partir da equação anterior. Dado um sistema com n partículas posicionadas ao longo de um eixo x, no qual a massa total é dada por M = m 1 + m 2 + . . . + m n {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}} , a posição do centro de massa é definida por: Além disso, definindo o momento linear do sistema como Logo, garantindo um sistema inicial em repouso e verificando que não está sujeito a forças externas ( F e x t = 0 {\displaystyle F_{ext}=0} ), garantimos, por definição, a conservação do momento linear, e, por conseguinte, a conservação do centro de massa, independentemente dos movimentos internos dos constituintes do sistema.
Sistema de três dimensões
Uma vez que determinado sistema de partículas ocupa três dimensões, a definição do centro de massa desse sistema deve ser feita considerando cada dimensão de forma independente. Dado um sistema de com n partículas distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa é dada por três coordenadas (x, y e z) definidas por:
Sistema de três dimensões (equação vetorial)
O centro de massa de um sistema de três dimensões também pode ser definido a partir do vetor posição desse sistema. Dada uma partícula de coordenadas x i {\displaystyle x_{i}} , y i {\displaystyle y_{i}} e z i {\displaystyle z_{i}} seu vetor posição é definido por: r → = x c m i ^ y c m J ^ z c m k ^ {\displaystyle {\overrightarrow {r}}=x_{cm}{\widehat {i}}\;\;y_{cm}{\widehat {J}}\;\;z_{cm}{\widehat {k}}} Em que o índice indica a partícula, e i ^ {\displaystyle {\widehat {i}}} , j ^ {\displaystyle {\widehat {j}}} e k ^ {\displaystyle {\widehat {k}}} são os vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido positivo do eixo x, y e z. De forma análoga, a posição do centro de massa de um sistema de partículas é definida pelo vetor posição:
Para definir o centro de massa de objetos homogêneos divide-se e distribui-se a massa de um objeto de forma contínua, tornando cada partícula do objeto elementos infinitesimais de massa d m {\displaystyle dm} . Desta forma as coordenadas do centro de massa são definidas por: Em que M {\displaystyle M} é a massa do corpo. Considerando que objetos homogêneos apresentam massa especifica (massa por unidade de volume) representada pelo símbolo ρ (letra grega rô) e que a mesma apresenta valores iguais para todos os elementos infinitesimais destes objetos define-se: Em que d V {\displaystyle dV} é o volume ocupado por um elemento de massa d m {\displaystyle dm} , e V {\displaystyle V} é o volume total do objeto
Movimento do centro de massa de um sistema
Dado um conjunto de n partículas de massa (possivelmente) diferentes, para descrever o movimento do centro de massa desse conjunto (que age como uma partícula cuja massa é igual à massa total do sistema), deve-se atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração definidos de acordo com a equação vetorial: F → r e s {\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{res}} é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema; M {\displaystyle M} é a massa total do sistema; a → c m {\displaystyle {\overrightarrow {a}}_{cm}} é a aceleração do centro de massa do sistema. Componentes de F → r e s {\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{res}} e a → c m {\displaystyle {\overrightarrow {a}}_{cm}} em relação à três eixos de coordenadas:
Momento linear de um sistema de partículas
Dado um sistema com n partículas, onde cada partícula apresenta massa, velocidade e momento linear determinados. O momento linear total é definido como a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula. Desta forma temos o momento linear de um sistema de partículas definido por:
Existem dois tipos de corpos conhecidos atualmente que servem para estabelecer formas de analisar o centro de massa: os corpos extensos heterogêneos e os corpos extensos homogêneos. A aplicação em corpos homogêneos é feita analisando regiões simétricas de polígonos regulares e aplicando definições de figuras geométricas, pois eles são objetos que possuem lados e ângulos iguais, como por exemplo, quadrados e cubos. Segundo essa definição, as análises de corpos heterogêneos só podem ser efetuadas a partir do estudo por Cálculo ou por meio da divisão geométrica dos corpos deformados, usando a geometria.
Centro de massa de um quadrado
O centro de massa de um quadrado é estabelecido por meio do encontro de suas diagonais – segmentos de retas com extremidades em vértices não consecutivos do polígono – esse encontro no centroide do objeto é feito por duas retas que se intercruzam no ponto médio, revelando uma simetria em relação aos ângulos e lados do quadrado. Sendo assim, para calcular a localização do centro de massa em um quadrado é necessário saber inicialmente o valor de seus lados, que será dividido por dois para descobrir o ponto médio, ou seja, L/2. Após fazer esse procedimento, os valores encontrados para o centro de massa estarão em coordenadas no plano cartesiano, em que, a coordenada do eixo x é a base e o do eixo y é a altura.
Circunferência
Para analisar o centro de massa de uma circunferência, basta saber o seu próprio centro geométrico, por se tratar de um objeto totalmente esférico e homogêneo. Para tanto, a análise é feita a partir da distância entre o centro e seu contorno, ou seja, seu raio, podendo ser desenhado sob um plano cartesiano, que propiciará uma divisão em coordenadas cartesianas referente ao centro no eixo X e Y e com isso, uma análise sobre a localização geométrica do centro de massa.
Triângulo
Outro exemplo de centro de massa em um corpo extenso homogêneo pode ser aplicado aos pontos de encontro das diagonais em triângulos não regulares. Para fazermos esse procedimento, devemos utilizar o Baricentro – considerado como o centro de massa e de gravidade de um triângulo homogêneo. Tendo em vista que um triângulo possui três vértices, há também três medianas que se interceptam em um ponto comum que divide cada mediana em duas partes. Sendo assim, a semirreta que sai de um vértice irá ser o dobro da semirreta que não possui vértice, definimos essa característica como sendo o Baricentro de um Triângulo. Os segmentos AMa, BMb, e CMc são medianas, pois a intersecção das três é encontrada em um único ponto, o centro do triângulo, ou seja, o baricentro.
As características existentes na geometria plana ajudam a entender aspectos que se conectam com meios físicos. Sendo assim, a aplicação do baricentro é muito importante para demonstrar como o centro de gravidade age em um campo gravitacional uniforme. Todos os conhecimentos iniciais que servem de infraestrutura para um estudo mais aprofundado sobre o centro gravitacional foram atribuídos ao matemático e astrônomo grego Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.). Desta forma, ele define que um corpo rígido suspenso por pontos em qualquer lugar com gravidade constante, após ser girado em seu eixo (aplicação de forças), deve permanecer na mesma posição de início, ou seja, o corpo permanecerá em equilíbrio em relação à Terra. Esse fenômeno é explicado por meio do equilíbrio existente entre a força peso do objeto (produto entre a massa em kg pela gravidade em m s 2 {\displaystyle {m \over s^{2}}} ) e a Terra, já que, todos as forças de atração são equilibradas em um único ponto, denominado baricentro. Sendo assim, como a massa da Terra é maior do que a do objeto, a força resultante proporcionará uma atração equivalente com sentido para o centro terrestre. Por conseguinte, centro de gravidade é o ponto que garante o equilíbrio de todas as forças atrativas.
