Infinito atual e infinito potencial
Infinito atual e infinito potencial designam duas modalidades nas quais o infinito pode existir ou ser concebido. Em primeiro lugar, trata da questão de saber se um domínio de cardinalidade infinita em todas as suas partes pode realmente existir em um dado momento, ou se em cada caso apenas certos elementos existem ou podem ser imaginados ou construídos, de modo que apenas o infinito potencial poderia realmente existir. Em segundo lugar, se a possibilidade em princípio do infinito atual for aceita, trata-se de quais seriam os objetos atualmente infinitos.
Anaximandro
O termo grego antigo para o infinito potencial ou impróprio era apeiron (ilimitado ou indefinido), em contraste com o infinito atual ou próprio aphorismenon. Apeiron se opõe ao que tem peras (limite). Essas noções são hoje denotadas por potencialmente infinito e atualmente infinito, respectivamente. Anaximandro (610–546 a.C.) sustentava que o apeiron era o princípio ou elemento principal que compunha todas as coisas. A noção de apeiron de Platão é mais abstrata, tendo a ver com variabilidade indefinida. Os principais diálogos em que Platão discute o 'apeiron' são os diálogos tardios Parmênides e o Filebo.
Aristóteles
Aristóteles resume as visões de seus predecessores sobre o infinito da seguinte forma: "Somente os pitagóricos colocam o infinito entre os objetos dos sentidos (eles não consideram o número como separável destes), e afirmam que o que está fora do céu é infinito. Platão, por outro lado, sustenta que não há corpo fora (as Formas não estão fora porque não estão em lugar algum), mas que o infinito está presente não apenas nos objetos dos sentidos, mas também nas Formas."―Aristóteles, Física, 203a O tema foi apresentado pela consideração de Aristóteles do apeiron―no contexto da matemática e da física (o estudo da natureza): "O infinito acaba sendo o oposto do que as pessoas dizem que é. Não é 'aquilo que não tem nada além de si mesmo' que é infinito, mas 'aquilo que sempre tem algo além de si'."
Pensadores escolásticos, renascentistas e iluministas
A historiografia da matemática medieval por muito tempo considerou que a maioria dos filósofos escolásticos aderiu ao lema Infinitum actu non datur. Isso significa que haveria apenas um infinito potencial (em desenvolvimento, impróprio, "sincategoremático"), mas não um infinito atual (fixo, próprio, "categoremático"), conforme Georg Cantor afirma sobre o período: "É bem sabido que na Idade Média todos os filósofos escolásticos defendem o "infinitum actu non datur" de Aristóteles como um princípio irrefutável." Houve exceções porém, por exemplo, na Inglaterra com João Baconthorpe, que chegou a afirmar: "O infinito atual existe em número, tempo e quantidade."
Era moderna
Na Idade Moderna, discussões sobre infinitos atuais e sua variedade de propriedades tiveram grande propulsão a partir de análises do paradoxo de Galileu. Gottfried Leibniz de início, em sua Monadologia, propunha a existência de uma divisão infinita atual das partes de unidades no mundo criado, em um sentido sincategoremático. Em um fragmento não publicado, ele afirma: "As coisas criadas são atualmente infinitas. Pois qualquer corpo, seja qual for, é atualmente dividido em várias partes, uma vez que qualquer corpo, seja qual for, recebe atuação por outros corpos. E qualquer parte de um corpo é um corpo pela própria definição de corpo. Então corpos são atualmente infinitos, ou seja, mais corpos podem ser encontrados do que o tanto de unidades em qualquer número dado."
O infinito atual agora é comumente aceito, porque os matemáticos aprenderam a construir declarações algébricas utilizando-o. Por exemplo, pode-se escrever um símbolo, ω {\displaystyle \omega } , com a descrição verbal de que " ω {\displaystyle \omega } significa infinito completado (contável)". Este símbolo pode ser adicionado como um urelemento a qualquer conjunto. Pode-se também fornecer axiomas que definem adição, multiplicação e desigualdade; especificamente, aritmética ordinal, tal que expressões como n < ω {\displaystyle n<\omega } podem ser interpretadas como "qualquer número natural é menor que o infinito completado". Mesmo declarações de "senso comum", como ω < ω + 1 {\displaystyle \omega <\omega +1} são possíveis e consistentes. A teoria é suficientemente bem desenvolvida, de modo que expressões algébricas bastante complexas, como ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} , ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} e até mesmo 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} podem ser interpretadas como expressões algébricas válidas, podendo receber uma descrição verbal e ser usadas em uma ampla variedade de teoremas e afirmações de maneira consistente e significativa. A capacidade de definir números ordinais de maneira consistente e significativa torna muito do debate discutível; qualquer que seja a opinião pessoal que se possa ter sobre infinito ou construtibilidade, a existência de uma rica teoria para trabalhar com infinitos usando-se as ferramentas da álgebra e da lógica está claramente à mão.
Teoria clássica dos conjuntos
O problema filosófico do infinito atual diz respeito se a noção é coerente e epistemicamente sólida. Adolf Fraenkel afirma que sim: "Se o número positivo n se tornar infinitamente grande, a expressão 1/n tende a nada (ou fica infinitamente pequena). Nesse sentido, fala-se do infinito impróprio ou potencial. Em contraste nítido e claro, o conjunto que acabamos de considerar é um conjunto infinito pronto e fechado, fixo em si mesmo, contendo infinitos elementos exatamente definidos (os números naturais), nem mais nem menos." "Assim, a conquista do infinito atual pode ser considerada uma expansão de nosso horizonte científico não menos revolucionária que o sistema copernicano ou que a teoria da relatividade, ou mesmo da física quântica e nuclear."
Vários critérios em matemática e na filosofia da matemática contemporânea
Os potencialistas criticam e rejeitam a prática de falar de "conjuntos" infinitos, a qual se impôs ao lado atualista e se tornou, na forma da teoria axiomática dos conjuntos, um dos fundamentos mais importantes da matemática. A fim de destacar a natureza controversa de todo o conceito, no que se segue, às vezes, ele será colocado entre aspas. O exemplo mais simples de um conjunto infinito é o conjunto N = { 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\dots \}} dos números naturais: para cada número natural é possível designar um sucessor, portanto não há fim. Cada um desses números (não importa o tamanho) pode ser apontado de forma completa, enquanto isso não é possível para o conjunto N {\displaystyle \mathbb {N} } com cada um de seus elementos.
Oposição da escola intuicionista
O significado matemático do termo "atual" no infinito atual é sinônimo de definido, completado, estendido ou existencial, mas não deve ser confundido com existindo fisicamente. A questão de saber se os números naturais ou reais formam conjuntos definidos é, portanto, independente da questão de saber se existem coisas infinitas fisicamente na natureza. Os proponentes do intuicionismo, de Kronecker em diante, rejeitam a afirmação de que existem objetos ou conjuntos matemáticos atualmente infinitos. Consequentemente, eles reconstroem os fundamentos da matemática de uma maneira que não pressupõe a existência de infinitos atuais. Por outro lado, a análise construtiva aceita a existência do infinito completado dos inteiros.
