Teorema de Bell
O teorema de Bell é um termo que abrange uma série de resultados intimamente relacionados na física, todos os quais determinam que a mecânica quântica é incompatível com teorias locais de variáveis ocultas, dadas algumas suposições básicas sobre a natureza da medição. O primeiro resultado desse tipo foi introduzido por John Stewart Bell em 1964, baseando-se no paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen, que chamou a atenção para o fenômeno do emaranhamento quântico.
Existem muitas variações da ideia básica, algumas empregando suposições matemáticas mais fortes do que outras. Significativamente, os teoremas do tipo Bell não se referem a nenhuma teoria específica de variáveis ocultas locais, mas mostram que a física quântica viola suposições gerais por trás das visões clássicas da natureza. O teorema original provado por Bell em 1964 não é o mais adequado para experimentos, e é conveniente introduzir o gênero de desigualdades do tipo Bell com um exemplo posterior. Personagens hipotéticos Alice e Bob estão em locais amplamente separados. Seu colega Victor prepara um par de partículas e envia uma para Alice e a outra para Bob. Quando Alice recebe sua partícula, ela escolhe realizar uma de duas medições possíveis (talvez jogando uma moeda para decidir qual). Denotamos essas medições por A 0 {\displaystyle A_{0}} e A 1 {\displaystyle A_{1}} . Tanto A 0 {\displaystyle A_{0}} quanto A 1 {\displaystyle A_{1}} são medições binárias: o resultado de A 0 {\displaystyle A_{0}} é + 1 {\displaystyle +1} ou − 1 {\displaystyle -1} , e o mesmo vale para A 1 {\displaystyle A_{1}} . Quando Bob recebe sua partícula, ele escolhe uma de duas medições, B 0 {\displaystyle B_{0}} e B 1 {\displaystyle B_{1}} , que também são ambas binárias.
Bell (1964)
O artigo de Bell de 1964 mostra que um modelo de variáveis ocultas locais muito simples pode, em circunstâncias restritas, reproduzir as previsões da mecânica quântica, mas depois ele demonstra que, em geral, tais modelos dão previsões diferentes.:806 Bell considera um refinamento feito por David Bohm do experimento mental de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR). Neste cenário, um par de partículas é formado junto de tal forma que são descritas por um estado singlete de spin (que é um exemplo de um estado emaranhado). As partículas então se afastam em direções opostas. Cada partícula é medida por um dispositivo de Stern-Gerlach, um instrumento de medição que pode ser orientado em diferentes direções e que relata um de dois resultados possíveis, representáveis por + 1 {\displaystyle +1} e − 1 {\displaystyle -1} . A configuração de cada instrumento de medição é representada por um vetor unitário, e a previsão da mecânica quântica para a correlação entre dois detectores com configurações a → {\displaystyle {\vec {a}}} e b → {\displaystyle {\vec {b}}} é: P ( a → , b → ) = − a → ⋅ b → . {\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.} Em particular, se a orientação dos dois detectores for a mesma ( a → = b → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}} ), então o resultado de uma medição será certamente o negativo do resultado da outra, resultando em P ( a → , a → ) = − 1 {\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {a}})=-1} . E se as orientações dos dois detectores forem ortogonais ( a → ⋅ b → = 0 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0} ), então os resultados não são correlacionados, e P ( a → , b → ) = 0 {\displaystyle P({\vec {a}},{\vec {b}})=0} . Bell prova por exemplo que estes casos especiais podem ser explicados em termos de variáveis ocultas, e então prossegue para mostrar que a gama completa de possibilidades envolvendo ângulos intermediários não pode.
GHZ–Mermin (1990)
Daniel Greenberger, Michael A. Horne e Anton Zeilinger apresentaram um experimento mental de quatro partículas em 1990, que David Mermin então simplificou para usar apenas três partículas. Neste experimento mental, Victor gera um conjunto de três partículas de spin-1/2 descritas pelo estado quântico: | ψ ⟩ = 1 2 ( | 000 ⟩ − | 111 ⟩ ) , {\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle -|111\rangle )\,,} onde, como acima, | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } e | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } são os autovetores da matriz de Pauli σ z {\displaystyle \sigma _{z}} . Victor então envia uma partícula para Alice, Bob e Charlie, que esperam em locais amplamente separados. Alice mede σ x {\displaystyle \sigma _{x}} ou σ y {\displaystyle \sigma _{y}} em sua partícula, assim como Bob e Charlie. O resultado de cada medição é + 1 {\displaystyle +1} ou − 1 {\displaystyle -1} . Aplicando a regra de Born ao estado de três qubits | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } , Victor prevê que sempre que as três medições incluírem um σ x {\displaystyle \sigma _{x}} e dois σ y {\displaystyle \sigma _{y}} , o produto dos resultados será sempre + 1 {\displaystyle +1} . Isso ocorre porque | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } é um autovetor de σ x ⊗ σ y ⊗ σ y {\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}} com autovalor + 1 {\displaystyle +1} , e o mesmo vale para σ y ⊗ σ x ⊗ σ y {\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}} e σ y ⊗ σ y ⊗ σ x {\displaystyle \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}} . Portanto, conhecendo o resultado de Alice para uma medição de σ x {\displaystyle \sigma _{x}} e o resultado de Bob para uma medição de σ y {\displaystyle \sigma _{y}} , Victor pode prever com probabilidade 1 qual resultado Charlie retornará para uma medição de σ y {\displaystyle \sigma _{y}} . De acordo com o critério de realidade EPR, haveria um "elemento de realidade" correspondente ao resultado de uma medição de σ y {\displaystyle \sigma _{y}} sobre o qubit de Charlie. De fato, essa mesma lógica se aplica a ambas as medições e a todos os três qubits. Segundo o critério de realidade EPR, então, cada partícula contém um "conjunto de instruções" que determina o resultado de uma medição de σ x {\displaystyle \sigma _{x}} ou σ y {\displaystyle \sigma _{y}} sobre ela. O conjunto de todas as três partículas seria então descrito pelo conjunto de instruções: ( a x , a y , b x , b y , c x , c y ) , {\displaystyle (a_{x},a_{y},b_{x},b_{y},c_{x},c_{y})\,,} com cada entrada sendo − 1 {\displaystyle -1} ou + 1 {\displaystyle +1} , e cada medição de σ x {\displaystyle \sigma _{x}} ou σ y {\displaystyle \sigma _{y}} simplesmente retornando o valor apropriado.
Teorema de Kochen–Specker (1967)
Na teoria quântica, bases ortonormais para um Espaço de Hilbert representam medições que podem ser realizadas em um sistema que possui esse espaço de Hilbert. Cada vetor em uma base representa um resultado possível dessa medição.[nota 2] Suponha que uma variável oculta λ {\displaystyle \lambda } exista, de modo que conhecer o valor de λ {\displaystyle \lambda } implicaria certeza sobre o resultado de qualquer medição. Dado um valor de λ {\displaystyle \lambda } , cada resultado de medição – isto é, cada vetor no espaço de Hilbert – é ou impossível ou garantido. Uma configuração de Kochen-Specker é um conjunto finito de vetores feito de múltiplas bases interligadas, com a propriedade de que um vetor nela sempre será impossível quando considerado pertencente a uma base e garantido quando tomado como pertencente a outra. Em outras palavras, uma configuração de Kochen-Specker é um "conjunto não colorível" que demonstra a inconsistência de assumir que uma variável oculta λ {\displaystyle \lambda } pode estar controlando os resultados das medições.:196–201
Teorema do livre-arbítrio
O tipo de argumento Kochen-Specker, usando configurações de bases interligadas, pode ser combinado com a ideia de medir pares emaranhados que fundamenta as desigualdades do tipo Bell. Isso foi observado a partir da década de 1970 por Kochen, Heywood e Redhead, Stairs, e Brown e Svetlichny. Como o EPR apontou, obter um resultado de medição em metade de um par emaranhado implica certeza sobre o resultado de uma medição correspondente na outra metade. O "critério de realidade EPR" postula que, como a segunda metade do par não foi perturbada, essa certeza deve ser devida a uma propriedade física pertencente a ela. Em outras palavras, por este critério, uma variável oculta λ {\displaystyle \lambda } deve existir dentro da segunda metade do par, ainda não medida. Nenhuma contradição surge se apenas uma medição na primeira metade for considerada. No entanto, se o observador tiver uma escolha de múltiplas medições possíveis, e os vetores que definem essas medições formarem uma configuração de Kochen-Specker, então algum resultado na segunda metade será simultaneamente impossível e garantido.
Emaranhamento quase-clássico
Como Bell apontou, algumas previsões da mecânica quântica podem ser replicadas em modelos locais de variáveis ocultas, incluindo casos especiais de correlações produzidas a partir do emaranhamento. Este tópico tem sido estudado sistematicamente nos anos seguintes ao teorema de Bell. Em 1989, Reinhard Werner introduziu o que agora são chamados de estados de Werner, estados quânticos conjuntos para um par de sistemas que produzem correlações do tipo EPR, mas também admitem um modelo de variáveis ocultas. Os estados de Werner são estados quânticos bipartidos que são invariantes sob operadores unitários na forma de produto tensorial simétrico: ρ A B = ( U ⊗ U ) ρ A B ( U † ⊗ U † ) . {\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger }).} Em 2004, Robert Spekkens introduziu um modelo de brinquedo que começa com a premissa de graus de liberdade locais discretizados e depois impõe um "princípio de equilíbrio de conhecimento" que restringe o quanto um observador pode saber sobre esses graus de liberdade, tornando-os assim variáveis ocultas. Os estados permitidos de conhecimento ("estados epistêmicos") sobre as variáveis subjacentes ("estados ônticos") mimetizam algumas características dos estados quânticos. Correlações no modelo de brinquedo podem emular alguns aspectos do emaranhamento, como a monogamia, mas, por construção, o modelo de brinquedo nunca pode violar uma desigualdade de Bell.
Contexto
A questão de se a mecânica quântica pode ser "completada" por variáveis ocultas remonta aos primeiros anos da teoria quântica. Em seu livro sobre os fundamentos matemáticos da mecânica quântica de 1932, o polímata de origem húngara John von Neumann apresentou o que alegava ser uma prova de que não poderia haver "parâmetros ocultos". A validade e o alcance da prova de von Neumann foram questionados por Hans Reichenbach, com mais detalhes por Grete Hermann, e possivelmente em conversa, embora não por escrito, por Albert Einstein.[nota 3] (Simon Kochen e Ernst Specker rejeitaram a suposição fundamental de von Neumann já em 1961, mas só publicaram uma crítica a ela em 1967.)
Publicações de Bell
Bell escolheu publicar o seu teorema numa revista comparativamente obscura porque esta não cobrava taxas de publicação, chegando inclusive a pagar aos autores na época. Como a revista não fornecia cópias impressas gratuitas dos artigos aos autores, Bell teve de gastar o dinheiro recebido para comprar separatas e enviá-las a outros físicos. Embora os artigos impressos na revista listassem o nome da publicação simplesmente como Physics, as capas exibiam a versão trilíngue Physics Physique Физика para refletir que aceitava artigos em inglês, francês e russo.:92–100, 289 Antes de provar o seu resultado de 1964, Bell também provou um resultado equivalente ao teorema de Kochen-Specker (daí este último ser por vezes conhecido como teorema de Bell-Kochen-Specker ou Bell-KS). Contudo, a publicação deste teorema foi inadvertidamente atrasada até 1966. Nesse artigo, Bell argumentou que, como uma explicação dos fenômenos quânticos em termos de variáveis ocultas exigiria a não localidade, o paradoxo EPR "é resolvido da forma que Einstein menos teria gostado."
Em 1967, o título incomum Physics Physique Физика chamou a atenção de John Clauser, que descobriu o artigo de Bell e começou a considerar como realizar um teste de Bell em laboratório. Clauser e Stuart Freedman realizaram um teste de Bell em 1972. Este foi apenas um teste limitado, porque a escolha das configurações do detector foi feita antes de os fótons deixarem a fonte. Em 1982, Alain Aspect e colaboradores realizaram a primeira experiência de Bell para remover esta limitação. Isto iniciou uma tendência de testes de Bell progressivamente mais rigorosos. O experimento mental GHZ foi implementado na prática, utilizando tríades de fótons emaranhados, em 2000. Em 2002, testar a desigualdade CHSH já era viável em laboratórios de graduação. Nos testes de Bell, podem existir problemas de projeto ou configuração experimental que afetam a validade dos resultados. Estes problemas são frequentemente referidos como "lacunas" ou "escapatórias" (loopholes). O objetivo do experimento é testar se a natureza pode ser descrita por uma teoria de variáveis ocultas locais, o que contradiria as previsões da mecânica quântica.
As reações ao teorema de Bell foram diversas. Maximilian Schlosshauer, Johannes Kofler e Zeilinger destacam que as desigualdades de Bell fornecem "um excelente exemplo de como podemos ter um resultado teórico rigoroso testado por inúmeros experimentos e, ainda assim, discordar sobre as suas implicações."
A interpretação de Copenhague
As interpretações do tipo Copenhague geralmente tomam a violação das desigualdades de Bell como fundamento para rejeitar a suposição frequentemente chamada de definitividade contrafactual ou "realismo", o que não é necessariamente o mesmo que abandonar o realismo num sentido filosófico mais amplo. Por exemplo, Roland Omnès defende a rejeição de variáveis ocultas e conclui que "a mecânica quântica é provavelmente tão realista quanto qualquer teoria do seu âmbito e maturidade alguma vez será".:531 Da mesma forma, Rudolf Peierls considerou que a mensagem do teorema de Bell era que, sendo a premissa de localidade fisicamente razoável, "as variáveis ocultas não podem ser introduzidas sem abandonar alguns dos resultados da mecânica quântica".
Interpretação de muitos mundos da mecânica quântica
A interpretação de muitos mundos, também conhecida como interpretação de Everett, é dinamicamente local, o que significa que não exige ação à distância,:17 e determinística, porque consiste na parte unitária da mecânica quântica sem colapso. Pode gerar correlações que violam uma desigualdade de Bell porque viola uma suposição implícita de Bell de que as medições têm um único resultado. Na verdade, o teorema de Bell pode ser provado no quadro de Muitos Mundos a partir da suposição de que uma medição tem um único resultado. Portanto, uma violação de uma desigualdade de Bell pode ser interpretada como uma demonstração de que as medições têm múltiplos resultados.
Variáveis ocultas não locais
A maioria dos defensores da ideia de variáveis ocultas acredita que os experimentos descartaram as variáveis ocultas locais.[nota 5] Estão prontos a desistir da localidade, explicando a violação da desigualdade de Bell por meio de uma teoria de variáveis ocultas não local, na qual as partículas trocam informação sobre os seus estados. Esta é a base da interpretação de Bohm da mecânica quântica, que exige que todas as partículas no universo sejam capazes de trocar informação instantaneamente com todas as outras. Um desafio para as teorias de variáveis ocultas não locais é explicar por que razão esta comunicação instantânea pode existir ao nível das variáveis ocultas, mas não pode ser utilizada para enviar sinais. Um experimento de 2007 descartou uma grande classe de teorias de variáveis ocultas não locais não bohmianas, embora não a própria mecânica bohmiana.
Superdeterminismo
Uma suposição necessária para derivar o teorema de Bell é que as variáveis ocultas não estão correlacionadas com as configurações de medição. Esta suposição tem sido justificada com base no facto de o experimentador ter "livre-arbítrio" para escolher as configurações, e que isso é necessário para fazer ciência em primeiro lugar. Uma teoria (hipotética) onde a escolha da medição está necessariamente correlacionada com o sistema que está a ser medido é conhecida como superdeterminista. Alguns defensores de modelos determinísticos não desistiram das variáveis ocultas locais. Por exemplo, Gerard 't Hooft argumentou que o superdeterminismo não pode ser descartado.
