Assortatividade

Imagem: G265673 · BY-SA · Openverse

A assortatividade de uma rede é comumente computado por meio da correlação entre nós. Existem diversas formas de se calcular esta correlação, entretanto a mais utilizada é o coeficiente de correlação de graus.

O coeficiente de correlação de graus é um número que é quantificado pelo coeficiente de correlação de Pearson, r, que caracteriza a correlação de ambos os nós das extremidade de uma aresta. Este valor varia entre o intervalo [-1 ≤ r ≤ 1] e apresenta as seguintes características: Se r = 0, a rede é não-assortativa (neutra); Se r < 0, então a rede é dissassortativa; e se r > 0, então a rede é assortativa. Além disso, quando o valor de r se encontra nos limites do intervalo, diz-se então que a rede é perfeitamente assortativa (r = 1) ou completamente disassortativa (r = -1). O valor de r, definido por Mark Newman , pode ser calculado a partir da seguinte expressão: r = ∑ j k j k ( e j k − q j q k ) σ 2 {\displaystyle r={\frac {\sum _{jk}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma ^{2}}}} (1), σ 2 = ∑ k k 2 q k − [ ∑ k k q k ] 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-{\bigg [}\sum _{k}kq_{k}{\bigg ]}^{2}} e

Existe ainda uma outra maneira de se quantificar a correlação de graus de uma rede: a função de correlação de graus. Esta função calcula a correlação de graus para todos os nós de grau k {\displaystyle k} existentes. Para isto, uma maneira de de quantificar a magnitude dos nós que se conectam entre si, é explorar o grau médio dos vizinhos de um nó i {\displaystyle i} com grau k {\displaystyle k} , em outras palavras, calcular o valor de k n n {\displaystyle k_{nn}} , definido por: k n n ( k ) = ∑ k ′ k ′ P ( k ′ | k ) {\displaystyle k_{nn}(k)=\sum _{k'}k'P(k'|k)} , onde P ( k ′ | k ) {\displaystyle P(k'|k)} é a probabilidade condicional em que uma aresta de um nó de grau k {\displaystyle k} alcance um nó de grau k ′ {\displaystyle k'} . Consequentemente, caso o valor da função cresça de acordo com o k {\displaystyle k} , então a rede é assortativa. Por outro lado, se o valor da função diminui de acordo com o valor de k {\displaystyle k} , então a rede é disassortativa. Por fim, pode-se concluir que, se a função não apresenta os comportamentos anteriores, então a rede é neutra.

Imagem: Albert-László Barabási · BY-SA · Openverse

Existem diversas aplicações para o uso da assortatividade de uma rede. A medicina é uma das áreas que mais explora este conceito, visto que auxilia a entender o comportamento de uma população e como uma determinada patologia pode se espalhar nesta comunidade. Junto a isso, pode-se inferir como aplicar de forma efetiva um sistema de vacinação conforme os hábitos destes grupos. Ainda assim, pode-se observar outras áreas que abordam o conceito, o aplicando em, por exemplo, sistema de rede elétrica (quais os pontos demandam mais energia elétrica), redes colaborativas (identificação de pontos que precisam de reforço) e rede de sistemas metabólicos (qual é o efeito de um determinado fármaco no corpo).