Algoritmo de Gauss-Legendre
O algoritmo de Gauss-Legendre é um algoritmo para calcular os dígitos de π. É notável por ser rapidamente convergente, com 25 iterações produz 45 milhões de dígitos corretos do π. Entretanto, o inconveniente é que usa muita memória e consequentemente não é usado em fórmulas como a Fórmula de Machin.
1. Valores iniciais: a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 4 p 0 = 1. {\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1.\!} 2. Repita as seguintes instruções até que a diferença de a n {\displaystyle a_{n}\!} e b n {\displaystyle b_{n}\!} esteja na precisão desejada: a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n , t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}} π ≈ ( a n + 1 + b n + 1 ) 2 4 t n + 1 . {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n+1}+b_{n+1})^{2}}{4t_{n+1}}}.\!} As 3 primeiras iterações dão (aproximações incluindo o primeiro dígito duvidoso): 3.14159264 … {\displaystyle 3.14159264\dots \!} 3.1415926535897932382 … {\displaystyle 3.1415926535897932382\dots \!} O algoritmo tem uma natureza convergente de segunda ordem, o que significa que o número de dígitos corretos duplica a cada iteração do algoritmo.
