Cinemática
A cinemática é o ramo da física que se ocupa da descrição dos movimentos de pontos, corpos ou sistemas de corpos, sem se preocupar com a análise de suas causas.
Um corpo, em relação a um dado referencial S {\displaystyle {S}} , ocupa um determinado ponto P {\displaystyle {P}} em um dado instante t {\displaystyle {t}} . Chama-se de trajetória ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo ao longo de um intervalo de tempo qualquer. Pode ser uma linha reta (movimento retilineo), uma curva ( movimento curvilíneo) ou até mesmo uma elipse, dependendo da natureza das forças e do referencial adotado. É o vetor resultante da subtração do vetor posição final r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} pelo vetor posição inicial r → 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} : Δ r → = r → 2 − r → 1 {\displaystyle {\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}} É importante destacar que o deslocamento é uma grandeza vetorial, o que significa que leva em conta a posição, direção e sentido do movimento. No entanto, em determinados contextos, como em uma corrida de Fórmula 1, é mais útil trabalhar apenas com a distância percorrida, D {\displaystyle D} , que corresponde ao comprimento total da trajetória. Para calcular essa trajetória, dividimos a curva em pequenos segmentos de reta orientados. À medida que o número desses segmentos tende ao infinito, obtemos a trajetória completa, ou seja:
Movimento e graus de liberdade
Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanecer constante, o objeto estará em repouso. Para determinarmos a posição do objeto, será necessário usar outros objetos como referência. Se a posição do corpo em estudo variar em relação ao referencial (objetos em repouso usados como referência), o corpo estará em movimento em relação a esse referencial. Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um primeiro referencial, mas em movimento em relação a um segundo referencial. Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para medirmos a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala, podemos medir a sua distância até o chão e até duas paredes perpendiculares na sala. Teríamos assim um sistema de três coordenadas perpendiculares (coordenadas cartesianas), que se costumam designar pelas letras x, y e z.
Movimento dos corpos rígidos
A posição de um corpo rígido em qualquer instante pode ser determinada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um eixo fixo em relação ao corpo e um ângulo de rotação à volta desse eixo. A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis e para especificar a orientação do eixo são precisos dois ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis graus de liberdade: 3 coordenadas de posição para a posição do ponto de referência, dois ângulos para a orientação do eixo e um ângulo à volta desse eixo. Se o eixo do corpo rígido mantiver a mesma direção enquanto se desloca, o movimento será de translação. Se existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, enquanto outros pontos do corpo estão em movimento, o movimento será de rotação pura. O movimento mais geral será uma sobreposição de translação e rotação (figura abaixo).
Movimento em uma, duas ou três dimensões
O movimento mais geral de um ponto no espaço ocorre em três dimensões, pois existem três graus de liberdade — x, y, e z — que variam em função do tempo. No entanto, em certas situações, esses três graus de liberdade, associados ao movimento de translação de um corpo rígido, podem ser reduzidos a dois ou até mesmo a um. Por exemplo, o movimento de um automóvel em uma autoestrada pode ser considerado unidimensional se levarmos em conta apenas a trajetória ao longo do solo. Caso o automóvel apresente uma avaria, o motorista só precisa informar o quilômetro exato da autoestrada em que se encontra para que o caminhão de reboque saiba para onde se dirigir. Nesse contexto, o movimento do automóvel ao longo da estrada é descrito pelo aumento da distância percorrida, sendo essa distância o único grau de liberdade relevante.
Movimentos dependentes
Em alguns sistemas em que aparentemente são necessárias várias variáveis para descrever o movimento dos diferentes componentes do sistema, o número de graus de liberdade pode ser menor devido à existência de restrições no movimento. A figura abaixo mostra um exemplo que descreve o movimento de um cilindro que desce, enquanto o carrinho se desloca sobre a mesa. O movimento do carrinho pode ser descrito pela variação da distância horizontal x {\displaystyle x} até o eixo da roldana fixa. O movimento do cilindro será igual ao movimento da roldana móvel e, portanto, pode ser descrito pela expressão para a distância vertical y {\displaystyle y} entre os centros das roldanas, em função do tempo.
Ponto material
Esse conceito é utilizado na Física para simplificar a análise de movimento, ele conciste em um corpo cujas dimensoes, seja o tamanho ou forma podem ser desconsideradas em relação ao contexto do fenomeno estudado. Isso significa que suas dimensoes não influenciam o estudo do movimento e toda a massa do corpo é considerada concentrada em um unico ponto. Melhor descrevendo, suas dimensões são despreziveis conforme o referencial utilizado.
Referencial
É um sistema de referência S {\displaystyle {S}} em relação ao qual é definido o vetor posição r → {\displaystyle {\vec {r}}} do corpo em função do tempo. Este vetor fornece a posição do corpo em um dado instante t {\displaystyle {t}} . Assume-se geralmente como origem do sistema de coordenadas a posição r → 0 {\displaystyle {{\vec {r}}_{0}}} do corpo no instante inicial t 0 {\displaystyle {t_{0}}} . Este instante é escolhido arbitrariamente; para fins práticos pode-se dizer que é o instante em que se dispara o cronômetro para a análise do fenômeno.
Velocidade média é a razão do deslocamento Δ S {\displaystyle {\Delta S}} pelo intervalo de tempo Δ t {\displaystyle {\Delta t}} . A velocidade média pode ser considerada escalar se for considerado apenas o módulo do deslocamento. Em uma corrida de fórmula 1, por exemplo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao final de cada volta o piloto não terá desenvolvido velocidade, pois não houve deslocamento, uma vez que o vetor r → {\displaystyle {\vec {r}}} final é o mesmo que r 0 → {\displaystyle {\vec {r_{0}}}} . Entretanto, considerando o módulo do espaço percorrido pelo piloto, teremos uma velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito mais útil para as análises necessárias. No movimento unidimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro nos leva aos mesmos resultados. Pode-se definir a velocidade média como v m → = Δ S → Δ t = S → − S 0 → t − t 0 {\displaystyle {{\vec {v_{m}}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}{t-t_{0}}}}}
É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo δ t {\displaystyle {\delta t}} infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea v → {\displaystyle {\vec {v}}} ou simplesmente velocidade como sendo: v → = d r → d t {\displaystyle {{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}} Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo t {\displaystyle {t}} .
Imagem: Zé.Valdi · BY-NC-SA · Openverse
Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como: a m → = v → − v 0 → t − t 0 {\displaystyle {{\vec {a_{m}}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v_{0}}}}{t-t_{0}}}}} (aceleração média) a → = d v → d t {\displaystyle {{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}} (aceleração instantânea)
Imagem: Tecsie · BY-SA · Openverse
Define-se a aceleração tangencial no instante t {\displaystyle t} igual à aceleração média num intervalo de tempo que inclui o tempo t {\displaystyle t} , no limite em que o intervalo de tempo, Δ t {\displaystyle \Delta t} , se aproximar de zero. a t ( t ) = lim Δ t → 0 Δ v Δ t {\displaystyle a_{t}(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}} Usando a notação abreviada com um ponto por cima, temos a seguinte equação: a t = v ˙ = s ¨ {\displaystyle a_{t}={\dot {v}}={\ddot {s}}} onde os dois pontos por cima da função indicam a sua segunda derivada em função do tempo. Repare que a distância percorrida s(t) é uma função do tempo, sempre positiva e crescente, ou constante. Assim, a sua primeira derivada, s ˙ = v {\displaystyle {\dot {s}}=v} , será sempre positiva, mas a sua segunda derivada, s ¨ = a t {\displaystyle {\ddot {s}}=at} , poderá ter qualquer sinal. Uma aceleração tangencial negativa implica uma diminuição da velocidade e aceleração tangencial nula implica velocidade constante.
Imagem: Clarissa Butelli · BY-NC · Openverse
A forma mais didática de se iniciar a cinemática é a partir do "movimento unidimensional", embora este seja apenas um caso particular do movimento geral num espaço euclidiano tridimensional (como esse em que vivemos). O movimento unidimensional consiste no movimento de uma "partícula" restrita a uma reta. O conceito de partícula que será usado aqui difere do conceito de partícula encontrado na física quântica (ex: quarks, elétrons). Definiremos uma partícula como algo que possui apenas duas propriedades: localização e massa. Assim, note que a partícula não tem extensão nem forma. Para descrever a posição de um corpo extenso, precisamos dizer a localização de cada pedaço que o compõe, mas isso não é necessário para uma partícula. Graficamente, podemos pensar na partícula como um ponto que possui massa e se move pelo espaço com a passagem do tempo. As partículas não existem na realidade, são objetos matemáticos sobre os quais construímos a primeira descrição realmente poderosa do mundo.
Imagem: Zé.Valdi · BY-NC-SA · Openverse
Se tivermos uma expressão matemática para uma das variáveis cinemáticas em função do tempo, as expressões para as outras duas variáveis podem ser calculadas resolvendo as equações cinemáticas. Nos casos em que é conhecida uma expressão para a velocidade em função da distância percorrida s {\displaystyle s} , a derivada da velocidade em ordem ao tempo deve ser calculada usando a regra da cadeia para funções implícitas: a t = d v d t = d v d s d s d t = d v d s s ˙ = v d v d s {\displaystyle a_{\mathrm {t} }={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}{\dfrac {\mathrm {d} \,s}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}\,{\dot {s}}=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}} Esta é outra equação cinemática. Resumindo, há quatro equações cinemáticas: v = s ˙ a t = v ˙ a t = s ¨ a t = v d v d s {\displaystyle v={\dot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\dot {v}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\ddot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}
Movimento ao longo de um eixo
Em alguns casos é mais conveniente trabalhar com a posição em vez da distância percorrida. Para medir a posição ao longo do percurso, escolhem-se uma origem e um sentido positivo no percurso. A posição será indicada por meio de uma coordenada x {\displaystyle x} que pode ser positiva, negativa ou nula. Essa coordenada poderá ser medida ao longo de um eixo retilíneo (eixo dos x {\displaystyle x} ) que não coincide com a trajetória do objeto e, nesse caso, x {\displaystyle x} indicará a posição da projeção do ponto no eixo dos x {\displaystyle x} . Mas também é possível usar x {\displaystyle x} para representar a posição medida ao longo do percurso do objeto e, nesse caso, o eixo x {\displaystyle x} poderá ser uma curva em vez de uma reta.
Equações lineares de movimento
O corpo é considerado em dois instantes no tempo: um ponto "inicial" e o "atual". Frequentemente, problemas na cinemática lidam com mais de dois instantes e diversas aplicações das equações são necessárias. v = v 0 + a Δ t {\displaystyle v=v_{0}+a\Delta t\,} Δ s = 1 2 ( v 0 + v ) Δ t {\displaystyle \Delta s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)\Delta t} Δ s = v 0 Δ t + 1 2 a Δ t 2 {\displaystyle \Delta s=v_{0}\Delta t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}} v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s {\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\ \,} Δ s = v Δ t − 1 2 a Δ t 2 {\displaystyle \Delta s=v\Delta t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}
Imagem: ahip · BY · Openverse
Perto da superfície da Terra, todos os objetos que sejam deixados deslocar-se livremente, têm uma aceleração com valor constante, chamada aceleração da gravidade e representada pela letra g {\displaystyle g} . Em diferentes locais o valor de g {\displaystyle g} sofre alterações, mas, na maioria das vezes, considera-se aproximadamente 9.8 m / s 2 {\displaystyle 9.8m/s^{2}} . A resistência do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a g {\displaystyle g} . A aceleração segundo a trajetória produzida pela gravidade poderá ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e poderá ter um valor diferente de g {\displaystyle g} se a trajetória não for vertical. Mas se o eixo dos y {\displaystyle y} for definido na vertical e apontando para cima, a componente da aceleração no eixo dos y {\displaystyle y} (projeção na vertical do movimento do objeto) terá sempre o valor constante a y = − 9.8 m / s 2 {\displaystyle a_{y}=-9.8m/s^{2}} (ou +9.8 se o sentido positivo do eixo y {\displaystyle y} for definido para baixo).
Lançamento de projéteis
Escolhendo o eixo dos z {\displaystyle z} na direção vertical, com sentido positivo para cima, a forma vetorial da aceleração da gravidade é: a → = − g e → z {\displaystyle {\vec {a}}=-g\,{\vec {e}}_{z}} onde g {\displaystyle g} é, aproximadamente, 9 , 8 m / s 2 {\displaystyle 9,8m/s^{2}} . Se um projétil for lançado com velocidade inicial v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} , a aceleração da gravidade alterará essa velocidade, na direção de e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} , produzindo uma nova velocidade que estará no mesmo plano formado pelos vetores v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} e e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} . Conclui-se assim que a trajetória do projétil estará sempre no plano vertical formado por v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} e e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} .
