Espaço anti-de Sitter
Na matemática e na física, o espaço anti-de Sitter n-dimensional é um espaço simétrico maximamente simétrico com curvatura escalar negativa constante. É o análogo lorentziano do espaço hiperbólico. O espaço anti-de Sitter e o espaço de de Sitter foram nomeados em homenagem a Willem de Sitter, professor de astronomia na Universidade de Leiden e diretor do Observatório de Leiden. Willem de Sitter e Albert Einstein trabalharam juntos de perto em Leiden na década de 1920 na estrutura do espaço-tempo do universo. Paul Dirac foi a primeira pessoa a explorar rigorosamente o espaço anti-de Sitter, fazendo-o em 1963.
Termos técnicos traduzidos
Uma variedade lorentziana maximamente simétrica é um espaço-tempo no qual nenhum ponto no espaço e no tempo pode ser distinguido de forma alguma de outro e, sendo lorentziana, a única maneira pela qual uma direção (ou tangente a um caminho em um ponto do espaço-tempo) pode ser distinguida é se ela é do tipo espaço (spacelike), tipo luz (lightlike) ou tipo tempo (timelike). O espaço da relatividade especial (espaço de Minkowski) é um exemplo. Uma curvatura escalar constante significa uma curvatura do espaço-tempo semelhante à gravidade da relatividade geral que possui uma curvatura descrita por um único número que é o mesmo em todos os lugares no espaço-tempo na ausência de matéria ou energia.
O espaço-tempo na relatividade geral
A relatividade geral é uma teoria sobre a natureza do tempo, do espaço e da gravidade na qual a gravidade é uma curvatura do espaço e do tempo que resulta da presença de matéria ou energia. Energia e massa são equivalentes (como expresso na equação E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} ). Os valores de espaço e tempo podem ser relacionados, respectivamente, a unidades de tempo e espaço multiplicando ou dividindo o valor pela velocidade da luz (por exemplo, segundos vezes metros por segundo igual a metros). Uma analogia comum envolve a maneira como uma depressão em uma folha de borracha esticada, causada por um objeto pesado colocado sobre ela, influencia o caminho percorrido por pequenos objetos que rolam por perto, fazendo com que eles se desviem para dentro em relação ao caminho que teriam seguido se o objeto pesado estivesse ausente. É claro que, na relatividade geral, tanto os objetos pequenos quanto os grandes influenciam mutuamente a curvatura do espaço-tempo.
O espaço de de Sitter na relatividade geral
O espaço de de Sitter é uma solução para a relatividade geral na qual o espaço-tempo (o espaço dS) é positivamente curvado na ausência de matéria ou energia. Isso é análogo à relação entre a geometria euclidiana e a geometria não euclidiana. Uma curvatura intrínseca do espaço-tempo na ausência de matéria ou energia é modelada pela constante cosmológica na relatividade geral. Isso corresponde ao vácuo possuir uma densidade de energia e pressão. Esta geometria do espaço-tempo resulta em geodésicas do tipo tempo momentaneamente paralelas[b] divergindo, com seções do tipo espaço possuindo curvatura positiva.
Distinção entre o espaço anti-de Sitter e o espaço de de Sitter
Um espaço anti-de Sitter na relatividade geral é semelhante a um espaço de de Sitter, exceto que o sinal da curvatura do espaço-tempo é invertido. No espaço anti-de Sitter, na ausência de matéria ou energia, a curvatura das seções do tipo espaço é negativa, correspondendo a uma geometria hiperbólica, e geodésicas do tipo tempo momentaneamente paralelas[b] eventualmente se interceptam. Isso corresponde a uma constante cosmológica negativa, onde o próprio espaço vazio tem densidade de energia negativa, mas pressão positiva, ao contrário do modelo ΛCDM padrão do nosso próprio universo, para o qual as observações de supernovas distantes indicam uma constante cosmológica positiva, correspondendo (assintoticamente no futuro) ao espaço de de Sitter.
Espaços de de Sitter e anti-de Sitter vistos como imersos em cinco dimensões
A analogia usada acima descreve a curvatura de um espaço bidimensional causada pela gravidade em um espaço ambiente plano de uma dimensão superior. Da mesma forma, os espaços (curvos) de de Sitter e anti-de Sitter de quatro dimensões podem, cada um, ser imersos em um espaço pseudo-riemanniano (plano) de cinco dimensões. Isso permite que distâncias e ângulos dentro do espaço imerso sejam determinados diretamente a partir daqueles no espaço plano pentadimensional.
Ressalvas
O restante deste artigo explica os detalhes desses conceitos com uma descrição matemática e física muito mais rigorosa e precisa. Os seres humanos não são muito aptos a visualizar coisas em cinco ou mais dimensões, mas as equações matemáticas não enfrentam esse desafio e podem representar conceitos pentadimensionais de uma forma tão apropriada quanto os métodos que as equações matemáticas usam para descrever conceitos tridimensionais e quadridimensionais mais fáceis de visualizar. Há uma implicação particularmente importante da descrição matemática mais precisa que difere da descrição heurística baseada em analogia do espaço de de Sitter e do espaço anti-de Sitter acima. A descrição matemática do espaço anti-de Sitter generaliza a ideia de curvatura. Na descrição matemática, a curvatura é uma propriedade de um ponto particular e pode ser desvinculada de alguma superfície invisível à qual os pontos curvos no espaço-tempo se moldam. Assim, por exemplo, conceitos como singularidades (o mais conhecido dos quais na relatividade geral é o buraco negro), que não podem ser expressos completamente em uma geometria do mundo real, podem corresponder a estados particulares de uma equação matemática.
Assim como os espaços esféricos e hiperbólicos podem ser visualizados por um mergulho isométrico em um espaço plano de uma dimensão superior (como a esfera e a pseudoesfera, respectivamente), o espaço anti-de Sitter pode ser visualizado como o análogo lorentziano de uma esfera imersa em um espaço de uma dimensão adicional, no qual a dimensão adicional é uma segunda dimensão do tipo tempo. Neste artigo adotamos a convenção de que o tensor métrico numa direção do tipo tempo é negativo. O espaço anti-de Sitter de assinatura ( p , 1 ) {\displaystyle (p,1)} pode então ser isometricamente imerso no espaço R p , 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{p,2}} com coordenadas ( x 1 , … , x p , t 1 , t 2 ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{p},t_{1},t_{2})} e a métrica onde α {\displaystyle \alpha } é uma constante não nula com dimensões de comprimento (o raio de curvatura). Cada ponto na imersão possui uma "distância" fixa (conforme determinado pela forma quadrática) a partir da origem, mas pode ser representado como um hiperboloide, como na imagem mostrada.
Curvas temporais fechadas e a cobertura universal
A imersão acima possui curvas temporais fechadas; por exemplo, o caminho parametrizado por t 1 = α sin ( τ ) {\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau )} , t 2 = α cos ( τ ) {\displaystyle t_{2}=\alpha \cos(\tau )} e todas as outras coordenadas nulas é uma dessas curvas. Tais curvas podem ser eliminadas passando para o espaço de recobrimento universal, efetivamente "desenrolando" a imersão. Uma situação semelhante ocorre com a pseudoesfera, que se enrola sobre si mesma, embora o plano hiperbólico não o faça; como resultado, ela contém linhas retas (geodésicas) que se autointorsecam, enquanto o plano hiperbólico não as contém. Alguns autores definem o espaço anti-de Sitter como equivalente à própria quase-esfera imersa, enquanto outros o definem como equivalente ao recobrimento universal da imersão.
Simetrias
Se o recobrimento universal não for tomado, o espaço anti-de Sitter ( p , 1 ) {\displaystyle (p,1)} possui o O ( p , 2 ) {\displaystyle \mathrm {O} (p,2)} como seu grupo de isometria. Se o recobrimento universal for tomado, o grupo de isometria é um recobrimento de O ( p , 2 ) {\displaystyle \mathrm {O} (p,2)} . Isso é mais facilmente compreendido definindo o espaço anti-de Sitter como um espaço simétrico, usando a construção do espaço quociente, dada abaixo.
Instabilidade
A não comprovada "conjectura da instabilidade de AdS", introduzida pelos físicos Piotr Bizon e Andrzej Rostworowski em 2011, afirma que perturbações arbitrariamente pequenas de certas formas em AdS levam à formação de buracos negros. O matemático Georgios Moschidis provou que, dada a simetria esférica, a conjectura é verdadeira para os casos específicos do sistema de poeira nula de Einstein com um espelho interno (2017) e do sistema de Vlasov sem massa de Einstein (2018).
Uma carta de coordenadas que cobre parte do espaço fornece a coordenatização em meio-espaço do espaço anti-de Sitter, e é semelhante ao modelo do meio-plano de Poincaré do espaço hiperbólico, mas com um dos termos na métrica negativado, correspondendo a uma das direções tangentes da fronteira do meio-espaço. O tensor métrico para esta carta é com y > 0 {\displaystyle y>0} fornecendo o meio-espaço. Esta métrica é conformemente equivalente a um espaço-tempo plano de Minkowski em meio-espaço. As fatias de tempo constante desta carta de coordenadas são espaços hiperbólicos na métrica de meio-espaço de Poincaré. No limite em que y → 0 {\displaystyle y\to 0} , esta métrica de meio-espaço é conformemente equivalente à métrica de Minkowski d s 2 = − d t 2 + ∑ i d x i 2 {\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}} . Assim, o espaço anti-de Sitter contém um espaço de Minkowski conformal no infinito ("infinito" tendo coordenada y zero nesta carta).
é um quociente de dois grupos ortogonais, o espaço anti-de Sitter com paridade (simetria de reflexão) e simetria de reversão temporal pode ser visto como um quociente de dois grupos ortogonais generais enquanto o AdS sem P ou C pode ser visto como o quociente Esta formulação de quociente confere a A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} a estrutura de um espaço homogêneo. A Álgebra de Lie do grupo ortogonal generalizado o ( 1 , n ) {\displaystyle {\mathcal {o}}(1,n)} é dada por matrizes onde B {\displaystyle B} é uma matriz antissimétrica. Um gerador complementar na álgebra de Lie de G = o ( 2 , n ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {o}}(2,n)} é Estes dois satisfazem G = H ⊕ Q {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}} . O cálculo matricial explícito mostra que [ H , Q ] ⊆ Q {\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}} e [ Q , Q ] ⊆ H {\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}} . Assim, o espaço anti-de Sitter é um espaço homogêneo redutivo e um espaço simétrico não riemanniano.
A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} é uma solução de vácuo $n$-dimensional para a teoria da gravitação com a Ação de Einstein-Hilbert com constante cosmológica negativa Λ {\displaystyle \Lambda } , ( Λ < 0 {\displaystyle \Lambda <0} ), ou seja, a teoria descrita pela seguinte densidade Lagrangiana: onde G ( n ) {\displaystyle G_{(n)}} é a constante gravitacional no espaço-tempo $n$-dimensional. Portanto, é uma solução das Equações de campo de Einstein: onde G μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }} é o tensor de Einstein e g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} é a métrica do espaço-tempo. Introduzindo o raio α {\displaystyle \alpha } como Λ = − 1 α 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) 2 {\textstyle \Lambda ={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}} , esta solução pode ser imersa num espaço-tempo plano ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensional com a métrica d i a g ( − 1 , − 1 , + 1 , … , + 1 ) {\displaystyle \mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)} em coordenadas ( X 1 , X 2 , X 3 , … , X n + 1 ) {\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})} pelo seguinte vínculo:
Coordenadas globais
A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} é parametrizado em coordenadas globais pelos parâmetros ( τ , ρ , θ , φ 1 , … , φ n − 3 ) {\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-3})} como: onde x ^ i {\displaystyle {\hat {x}}_{i}} parametrizam uma esfera S n − 2 {\displaystyle S^{n-2}} , e em termos das coordenadas φ i {\displaystyle \varphi _{i}} eles são x ^ 1 = sin θ sin φ 1 … sin φ n − 3 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \sin \varphi _{n-3}} , x ^ 2 = sin θ sin φ 1 … cos φ n − 3 {\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-3}} , x ^ 3 = sin θ sin φ 1 … cos φ n − 2 {\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-2}} e assim por diante. A métrica de A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} nessas coordenadas é:
Modelo do hiperboloide + coordenada temporal
Se tomarmos a formulação do espaço AdS da seção Definição e propriedades e convertermos as coordenadas t 1 {\displaystyle t_{1}} e t 2 {\displaystyle t_{2}} para coordenadas polares, onde a coordenada radial é x 0 {\displaystyle x_{0}} e a coordenada angular é φ {\displaystyle \varphi } , de modo que t 1 = x 0 cos φ {\displaystyle t_{1}=x_{0}\cos \varphi } e t 2 = x 0 sin φ {\displaystyle t_{2}=x_{0}\sin \varphi } , onde o espaço é periódico em φ {\displaystyle \varphi } com período 2 π {\displaystyle 2\pi } , a quase-esfera se torna Vemos que a quase-esfera assume a mesma equação que a variedade no modelo do hiperboloide do espaço hiperbólico $p$-dimensional, enquanto a métrica também assume a equação da métrica no modelo do hiperboloide, except pelo termo extra − ( x 0 d φ ) 2 {\displaystyle -(x_{0}d\varphi )^{2}} . Isso nos diz que a quase-esfera possui simetria translacional na direção φ {\displaystyle \varphi } , e que as curves na quase-esfera com um valor fixo de φ {\displaystyle \varphi } são do tipo espaço, enquanto o próprio φ {\displaystyle \varphi } é do tipo tempo, onde o tempo próprio τ {\displaystyle \tau } evolui mais rapidamente quanto maior for x 0 {\displaystyle x_{0}} à medida que φ {\displaystyle \varphi } aumenta, se todas as outras coordenadas estiverem fixas, ou seja:
Coordenadas de Poincaré
a métrica de A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} nas coordenadas de Poincaré é: na qual 0 ≤ r {\displaystyle 0\leq r} . A superfície de codimensão 2 r = 0 {\displaystyle r=0} é o horizonte de Killing de Poincaré e r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } aproxima-se da fronteira do espaço-tempo A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} . Portanto, ao contrário das coordenadas globais, as coordenadas de Poincaré não cobrem toda a variedade A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} . Utilizando u ≡ r α 2 {\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}} , esta métrica pode ser escrita da seguinte forma: onde x μ = ( t , x → ) {\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)} . Pela transformação z ≡ 1 u {\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}} também pode ser escrita como:
Coordenadas de fatiamento aberto FRW
Como o AdS é maximamente simétrico, também é possível moldá-lo em uma forma espacialmente homogênea e isotrópica, como os espaços-tempo FRW (ver Métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker). A geometria espacial deve ser negativamente curva (aberta) e a métrica é onde d H n − 1 2 = d ρ 2 + sinh 2 ρ d Ω n − 2 2 {\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}} é a métrica padrão no plano hiperbólico ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -dimensional. Naturalmente, isso não cobre todo o AdS. Estas coordenadas estão relacionadas com as coordenadas globais de imersão por onde ∑ i x ^ i 2 = 1 {\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1} parametriza a S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} .
Fatiamento de de Sitter
onde ∑ i x ^ i 2 = 1 {\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1} parametriza a S n − 3 {\displaystyle S^{n-3}} . Então a métrica lê-se: é a métrica de um espaço de de Sitter n − 1 {\displaystyle n-1} dimensional com raio de curvatura α {\displaystyle \alpha } em coordenadas de fatiamento aberto. A métrica hiperbólica é dada por:
Propriedades geométricas
A métrica de A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} com raio α {\displaystyle \alpha } é um dos espaços-tempo $n$-dimensionais maximamente simétricos. Possui as seguintes propriedades geométricas:
Qualquer membro da família de espaços maximamente simétricos de curvatura não nula pode ser isometricamente imerso no espaço R p + 1 , q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1,q}} com coordenadas ( x 0 , … , x p , y 1 , … , y q ) {\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{p},y_{1},\ldots ,y_{q})} e com o tensor métrico onde α {\displaystyle \alpha } é uma constante não nula de dimensão metrológica de comprimento (o raio de curvatura). A métrica é aquela induzida a partir da métrica ambiente, possui assinatura ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} e é não degenerada. As seguintes subfamílias desses espaços podem ser identificadas: Um espaço construído desta forma possui o O ( p + 1 , q ) {\displaystyle \mathrm {O} (p+1,q)} como seu grupo de isometria. É um espaço simétrico e pode ser construído utilizando a construção de espaço quociente.
