Aceleração própria

Em um foguete que acelera depois do lançamento, ou mesmo em um foguete parado na plataforma de lançamento, a aceleração própria é a aceleração sentida pelos ocupantes. Ela pode ser expressa como força g, que é uma medida de aceleração, não uma força. Em um foguete, essa aceleração resulta das forças mecânicas exercidas pelo veículo sobre seus ocupantes. Para um observador parado no solo, a aceleração própria vem da força normal exercida pelo chão. Se o apoio for retirado e o observador entrar em queda livre ideal, um acelerômetro que o acompanhe passa a indicar zero, mesmo que suas coordenadas mostrem aceleração em determinado sistema de referência. Objetos em órbita e outros corpos em queda livre seguem, no limite de partícula-teste, trajetórias de aceleração própria nula. Efeitos de maré podem produzir aceleração relativa entre partes separadas de um corpo ou entre geodésicas vizinhas, mas isso não dá aceleração própria diferente de zero à linha de universo geodésica de uma partícula pontual. A queda livre produz a sensação de ausência de peso.

Ao segurar-se num carrossel que gira com velocidade angular constante, um observador experimenta uma aceleração própria radial para dentro, ou centrípeta, causada pela interação entre sua mão e o ponto de apoio. Essa aceleração contrabalança, na descrição feita no referencial em rotação, a aceleração geométrica radial para fora. Quando o observador solta o apoio, sua aceleração própria cai a zero e ele passa a seguir uma trajetória inercial. Um observador inercial também vê desaparecer a aceleração coordenada causada pela força centrípeta. Em velocidades relativísticas, os módulos das acelerações própria e coordenada não são, em geral, iguais. Do ponto de vista do referencial de mapa, o movimento depois da soltura é determinado pela velocidade tangencial que o objeto tinha naquele instante. No referencial em rotação, o mesmo movimento é expresso com termos de aceleração geométrica. Da mesma forma, observadores parados sobre um planeta que não gira, e sobre a Terra para fins práticos, experimentam uma aceleração própria para cima devido à força normal exercida pelo solo. No referencial preso à superfície, essa aceleração contrabalança a aceleração geométrica para baixo. Se o observador deixar a superfície e entrar em queda livre, passa a uma trajetória geodésica de aceleração própria nula.

Em baixas velocidades, nos sistemas de coordenadas inerciais da mecânica newtoniana, a aceleração própria é igual à aceleração coordenada, a = d 2 x d t 2 . {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}.} A igualdade deixa de valer quando o movimento é descrito em um sistema de coordenadas acelerado ou quando os efeitos relativísticos se tornam relevantes. Um objeto submetido à aceleração física a o {\displaystyle \mathbf {a} _{o}} será visto, no limite newtoniano, por observadores em um sistema de coordenadas com aceleração translacional a ref {\displaystyle \mathbf {a} _{\text{ref}}} com a aceleração a → coord = a → o − a → ref . {\displaystyle {\vec {a}}_{\text{coord}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {a}}_{\text{ref}}.} Se o objeto acelerar junto com o referencial, os observadores fixos nesse referencial não verão mudança de sua posição. Nesta ilustração, o carro acelera depois de uma placa de parada até a metade do quarteirão. Nesse ponto, o motorista tira o pé do acelerador e pisa no freio para parar na placa seguinte.

As relações entre aceleração própria e aceleração coordenada em uma fatia do espaço-tempo plano decorrem da métrica de Minkowski, ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 − ( d x ) 2 . {\displaystyle (c\,d\tau )^{2}=(c\,dt)^{2}-(d\mathbf {x} )^{2}.} Um referencial inercial de réguas e relógios sincronizados define a posição x {\displaystyle \mathbf {x} } e o tempo coordenado t. O relógio que acompanha o objeto define o tempo próprio τ {\displaystyle \tau } . Essas relações permitem tratar movimentos relativísticos em um referencial inercial estendido.

Na relatividade geral, a quadriaceleração de um objeto é a derivada covariante de sua quadrivelocidade U λ {\displaystyle U^{\lambda }} em relação ao tempo próprio: A λ := D U λ d τ = d U λ d τ + Γ λ μ ν U μ U ν . {\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }.} Aqui, Γ λ μ ν {\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }} são os símbolos de Christoffel do sistema de coordenadas. Os índices gregos assumem quatro valores, um temporal e três espaciais, e índices repetidos seguem a convenção de soma de Einstein. Uma trajetória geodésica satisfaz A λ = 0. {\displaystyle A^{\lambda }=0.} Em qualquer sistema de coordenadas, A λ {\displaystyle A^{\lambda }} são componentes da quadriaceleração. Somente em um referencial ortonormal local momentaneamente comóvel com o objeto elas assumem a forma A μ ^ = ( 0 , α ) . {\displaystyle A^{\hat {\mu }}=(0,{\boldsymbol {\alpha }}).} O termo d U λ / d τ {\displaystyle dU^{\lambda }/d\tau } , isoladamente, representa a variação das componentes coordenadas da quadrivelocidade. Em coordenadas gerais ele não deve ser identificado com uma aceleração física medida localmente. O termo de conexão também é necessário: d U λ d τ = A λ − Γ λ μ ν U μ U ν . {\displaystyle {\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}=A^{\lambda }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }.}